列出一下迭代过程用大M法求解如下线性规划问题max z =10x1+15x2+12x3 st 5x1+3x2+x3≤9 −5x1+6x2+15x3≤15 2x1+x2+x3≥5 x1x2x3 ≥0

首先将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量$x_4,x_5,x_6$：

$5x_1+3x_2+x_3+x_4=9$

$-5x_1+6x_2+15x_3+x_5=15$

$2x_1+x_2+x_3-x_6=5$

然后将目标函数转化为标准形式：

$max \ z = 10x_1+15x_2+12x_3+0x_4+0x_5+0x_6$

满足约束条件：

$5x_1+3x_2+x_3+x_4=9$

$-5x_1+6x_2+15x_3+x_5=15$

$2x_1+x_2+x_3-x_6=5$

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\geqslant 0$

引入人工变量，得到初始解：

$max \ z = -Mx_0$

满足约束条件：

$5x_1+3x_2+x_3+x_4=9$

$-5x_1+6x_2+15x_3+x_5=15$

$2x_1+x_2+x_3-x_6=5$

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\geqslant 0$

其中$x_0$是初始解，$M$是一个充分大的正数。取$M=100$，则初始解为：

$x_0=(0,0,0,9,15,5)$

对于$x_4,x_5,x_6$对应的人工变量，初始值均为$M$。

初始单纯形表如下：

| BV | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | 右端项 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :---------: | | x4 | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | | x5 | -5 | 6 | 15 | 0 | 1 | 0 | 15 | | x6 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | | z | -10 | -15 | -12 | 0 | 0 | 0 | $-100x_0$ |

选取$x_2$作为入基变量，$x_4$作为出基变量，进行迭代：

| BV | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | 右端项 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :---------: | | x4 | 5 | 3 | 1 | 1 | 0 | 0 | 9 | | x5 | -5 | 6 | 15 | 0 | 1 | 0 | 15 | | x6 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 5 | | z | -10 | -15 | -12 | 0 | 0 | 0 | $-100x_0$ |

$x_2$的系数为3，将$x_2$作为入基变量后，计算$x_2$的系数对右端项的贡献，得到：

$x_4+\frac{1}{3}x_2=x'_4$

$x_5-\frac{6}{3}x_2=x'_5$

$x_6-\frac{1}{3}x_2=x'_6$

$z-15x_2=z'$

选取$x'_5$作为出基变量，进行迭代：

| BV | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | 右端项 | | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :---------: | | x4 | 7 | 0 | $\frac{3}{2}$ | 1 | $\frac{1}{3}$ | 0 | 8 | | x2 | $\frac{5}{6}$ | 1 | $\frac{5}{18}$ | 0 | $\frac{1}{6}$ | 0 | $\frac{5}{2}$ | | x6 | $\frac{4}{3}$ | 0 | $\frac{2}{3}$ | 0 | $-\frac{1}{3}$ | 1 | $\frac{5}{3}$ | | z | $\frac{5}{2}$ | 0 | $\frac{3}{2}$ | 0 | $\frac{5}{6}$ | 0 | $\frac{75}{2}$ |

最终得到最优解：$x^=(\frac{5}{6},0,\frac{5}{18},8,\frac{5}{3},0)$，对应的目标函数值为$z^=75$。

由于人工变量全部为0，说明标准形式的约束条件均满足，所以原始问题的约束条件也一定满足。同时，$x_1,x_2,x_3$均为非负数，说明最优解也满足原始问题的约束条件。