证明分数布朗运动具有自相似性

分数布朗运动是一种具有自相似性的随机过程，其自相似性可以通过以下步骤进行证明：

步骤1：证明分数布朗运动具有平稳增量。

分数布朗运动的增量可以表示为：

$$\Delta B_H(t, s) = B_H(t) - B_H(s)$$

其中，$0 \leq s < t$。

由布朗运动的性质可知，增量$\Delta B(t, s) = B(t) - B(s)$是独立同分布的高斯随机变量，其均值为0，方差为$t-s$。因此，对于分数布朗运动，其增量的均值和方差可以表示为：

$$\begin{aligned} E[\Delta B_H(t, s)] &= 0 \ Var[\Delta B_H(t, s)] &= \frac{1}{2}[|t-s|^{2H} - |t-s|^{2-2H}] \end{aligned}$$

可以看出，分数布朗运动的增量的均值为0，方差与时间间隔的幂指数为$2H$，这表明分数布朗运动具有平稳增量。

步骤2：证明分数布朗运动具有自相似性。

自相似性是指一个随机过程在不同的时间尺度上具有相似的统计性质。对于分数布朗运动，其自相似性可以表示为：

$$B_H(\lambda^a t) \overset{d}{=} \lambda^H B_H(t)$$

其中，$\lambda > 0$，$a > 0$，$\overset{d}{=}$表示两个随机变量的分布相同。

为了证明上述式子成立，可以使用分数布朗运动的定义式：

$$B_H(t) = \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left{ \int_{-\infty}^0 [(t-s)^{H-\frac{1}{2}} - (-s)^{H-\frac{1}{2}}] dB(s) + \int_0^t (t-s)^{H-\frac{1}{2}} dB(s)\right}$$

将$t$替换为$\lambda^a t$，得到：

$$B_H(\lambda^a t) = \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left{ \int_{-\infty}^0 [(\lambda^a t-s)^{H-\frac{1}{2}} - (-s)^{H-\frac{1}{2}}] dB(s) + \int_0^{\lambda^a t} (\lambda^a t-s)^{H-\frac{1}{2}} dB(s)\right}$$

将$s$替换为$\lambda^{-a} s$，得到：

$$B_H(\lambda^a t) = \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left{ \int_{-\infty}^{\lambda^{-a} \lambda^a t} [(\lambda^a t-\lambda^a s)^{H-\frac{1}{2}} - (-\lambda^{-a} s)^{H-\frac{1}{2}}] dB(\lambda^{-a} s) + \int_0^{\lambda^a t} (\lambda^a t-\lambda^a s)^{H-\frac{1}{2}} dB(\lambda^{-a} s)\right}$$

由于布朗运动的性质，$B(\lambda^{-a} s)$和$B(s)$的分布相同。因此，上式可以进一步化简为：

$$B_H(\lambda^a t) = \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left{ \int_{-\infty}^{\lambda^{-a} \lambda^a t} [(\lambda^a t-\lambda^a s)^{H-\frac{1}{2}} - (-\lambda^{-a} s)^{H-\frac{1}{2}}] dB(s) + \int_0^{\lambda^a t} (\lambda^a t-\lambda^a s)^{H-\frac{1}{2}} dB(s)\right}$$

将$\lambda^a$提出，得到：

$$B_H(\lambda^a t) = \lambda^H \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left{ \int_{-\infty}^{t} [(t-s)^{H-\frac{1}{2}} - (-s)^{H-\frac{1}{2}}] dB(s) + \int_0^{t} (t-s)^{H-\frac{1}{2}} dB(s)\right}$$

可以看出，上式与$B_H(t)$的定义式非常类似，只是时间间隔的幂指数变成了$H$，而系数$\lambda^H$与$\lambda^a$的幂指数相等。因此，可以得到：

$$B_H(\lambda^a t) \overset{d}{=} \lambda^H B_H(t)$$

这表明分数布朗运动具有自相似性。