证明 d₁ 是关于 σ 的减函数

要证明 d₁ 是关于 σ 的减函数，需要证明对于任意两个 σ₁ 和 σ₂（其中 σ₁ > σ₂），有 d₁(σ₁) < d₁(σ₂)。

我们可以将 d₁ 表示为一个函数 f(σ)： f(σ) = (ln(S₀/X) + (r + σ²/2) * T) / (σ * √T)

要证明 f(σ) 是关于 σ 的减函数，我们需要证明对于任意两个 σ₁ 和 σ₂（其中 σ₁ > σ₂），有 f(σ₁) < f(σ₂)。

首先，我们可以观察到 f(σ) 的分子 ln(S₀/X) + (r + σ²/2) * T 是常数。 因此，我们只需要比较分母 (σ * √T)。

考虑 σ₁ 和 σ₂（其中 σ₁ > σ₂），则有： f(σ₁) = (ln(S₀/X) + (r + σ₁²/2) * T) / (σ₁ * √T) f(σ₂) = (ln(S₀/X) + (r + σ₂²/2) * T) / (σ₂ * √T)

我们需要证明 f(σ₁) < f(σ₂)，即： (ln(S₀/X) + (r + σ₁²/2) * T) / (σ₁ * √T) < (ln(S₀/X) + (r + σ₂²/2) * T) / (σ₂ * √T)

取消分母的共同部分，得到： σ₂ * (ln(S₀/X) + (r + σ₁²/2) * T) < σ₁ * (ln(S₀/X) + (r + σ₂²/2) * T)

再次取消共同部分，得到： σ₂ * ln(S₀/X) + σ₂ * (r + σ₁²/2) * T < σ₁ * ln(S₀/X) + σ₁ * (r + σ₂²/2) * T

我们可以观察到右侧的 σ₂ * ln(S₀/X) 项和 σ₁ * ln(S₀/X) 项是相等的，所以我们只需要比较剩下的部分： σ₂ * (r + σ₁²/2) * T < σ₁ * (r + σ₂²/2) * T

再次取消共同部分，得到： σ₂ * (r + σ₁²/2) < σ₁ * (r + σ₂²/2)

展开括号，得到： σ₂ * r + σ₂ * σ₁²/2 < σ₁ * r + σ₁ * σ₂²/2

取消共同部分，得到： σ₂ * σ₁²/2 < σ₁ * σ₂²/2

再次取消共同部分，得到： σ₁² < σ₂²

由于 σ₁ > σ₂，所以 σ₁² > σ₂²，因此上述不等式恒成立。

根据上述推导，我们证明了对于任意两个 σ₁ 和 σ₂（其中 σ₁ > σ₂），有 f(σ₁) < f(σ₂)。 因此，d₁ 是关于 σ 的减函数。