用大M法求解如下线性规划问题使用单纯型表 max z =10x1+15x2+12x3 约束条件如下5x1+3x2+x3≤9;−5x1+6x2+15x3≤15 2x1+x2+x3≥5 ;x1x2x3 ≥0

首先将约束条件转化成标准形式：

5x1 + 3x2 + x3 + s1 = 9 -5x1 + 6x2 + 15x3 + s2 = 15 -2x1 - x2 - x3 - s3 = -5

目标函数为：max z = 10x1 + 15x2 + 12x3

引入人工变量，得：

max z = 10x1 + 15x2 + 12x3 + M(a1 + a2 + a3)

5x1 + 3x2 + x3 + s1 + a1 = 9 -5x1 + 6x2 + 15x3 + s2 + a2 = 15 -2x1 - x2 - x3 - s3 + a3 = -5

其中M为一个足够大的数，a1、a2、a3为人工变量，初始表格如下：

x1      x2    x3    s1    s2    s3    a1    a2    a3    b

z 10 15 12 0 0 0 M M M 0 s1 5 3 1 1 0 0 1 0 0 9 s2 -5 6 15 0 1 0 0 1 0 15 s3 -2 -1 -1 0 0 1 0 0 1 -5

选择a1、a2、a3作为初始基变量，计算出各变量的系数和约束值：

x1      x2    x3    s1    s2    s3    a1    a2    a3    b

z 10 15 12 M M M 1 1 1 0 a1 5 3 1 1 0 0 1 0 0 9 a2 -5 6 15 0 1 0 0 1 0 15 a3 -2 -1 -1 0 0 1 0 0 1 -5

由于a1、a2、a3的系数均为正数，因此它们不是最优基变量。选择最小的系数对应的变量作为离基变量，即选择a1作为离基变量，计算出其它变量的系数和约束值：

x1      x2    x3    s1    s2    s3    a1    a2    a3    b

z 4 15 10 M M 2 1/5 1/15 1/5 18/5 x1 1/5 3/5 1/5 1/5 0 0 1/5 0 0 9/5 a2 1/5 9/5 14/5 1/5 1 0 -1/5 1/5 0 12/5 a3 4/5 2/5 4/5 4/5 0 1 -2/5 -1/5 1/5 16/5

此时a2的系数均为正数，因此它不是最优基变量。选择最小的系数对应的变量作为离基变量，即选择x3作为离基变量，计算出其它变量的系数和约束值：

x1      x2    x3    s1    s2    s3    a1    a2    a3    b

z 8 17/3 0 M M 14/3 1/3 1/9 -1/3 47/3 x1 2/15 11/15 0 -1/15 1/5 -1/15 1/15 1/15 -1/15 1 a2 -7/15 8/15 1 -1/15 2/5 -1/15 -1/15 4/15 1/15 3 a3 1/5 -2/15 0 4/15 -1/5 4/15 -1/15 -4/15 1/15 1

此时所有系数均为非负数，且z的系数均为非正数，因此达到了最优解。最优解为z=47/3，x1=1，x2=11/15，x3=0，a1=0，a2=3，a3=0。