114514x+10086y=114514有多少个正整数解

首先，将原式化简为：$229x+2y=229\times 500$。

因为$229$是质数，所以$229x$和$229\times 500$互质。

根据裴蜀定理，$229x+2y=229\times 500$有整数解的充要条件是 $\gcd(229,2)|229\times 500$。

因为$\gcd(229,2)=1$，所以原式有整数解。

设$229x+2y=229\times 500$的一组解为$(x_0,y_0)$，则原式的正整数解为$(x,y)=(x_0+2k\times 229, y_0-k\times 229)$，其中$k$为任意整数。

因为$x$和$y$都是正整数，所以有$y_0\leq \frac{229\times 500}{2}=114500$。

又因为$y_0$必须是$229$的倍数，所以$y_0$的取值范围是$229$的倍数中小于等于$114500$的最大值，即$y_0=114435$。

因此，原式的正整数解共有$\boxed{499}$个，即$(x,y)=(2k\times 229+79,114435-k\times 229)$，其中$k=1,2,\cdots,499$。