拓扑磁电效应给出详细推导

拓扑磁电效应是指由于拓扑结构导致的磁场和电场耦合的效应。其具体表现为，当材料存在拓扑不变量时，施加电场会引起自发磁化，而施加磁场会引起自发电极化。以下是详细推导过程：

考虑一个二维拓扑绝缘体，其哈密顿量可以写成：

$H=\sum_{k}c^{\dagger}_{k}h(k)c_k$

其中$c_k$表示某个能量本征态的费米子算符，$h(k)$是一个$n\times n$的矩阵，描述了能带结构。拓扑不变量可以通过计算Berry相位得到，其表达式为：

$ν=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathrm{Tr}[F(k)]$

其中$F(k)$是Berry联络，定义为：

$F(k)=\mathrm{i}\nabla_kA(k)$

其中$A(k)$是Berry规范，满足：

$i\partial_kA(k)+A(k)A(k)=i\langle u(k)|\partial_k|u(k)\rangle$

其中$|u(k)\rangle$表示某个能量本征态的Bloch波函数。

考虑施加外电场，即在哈密顿量中加入电势项：

$H=\sum_{k}c^{\dagger}_{k}h(k)c_k+eA(x)t$

其中$A(x)$表示电势，$e$表示电荷量，$t$表示时间。对于一个拓扑绝缘体，我们有：

$\frac{\partial ν}{\partial A}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathrm{Tr}\left[\frac{\partial F(k)}{\partial A}\right]$

由于$F(k)$是由Berry规范$A(k)$导出的，我们有：

$\frac{\partial F(k)}{\partial A}=\mathrm{i}\nabla_k\frac{\partial A(k)}{\partial A}=\mathrm{i}\nabla_k$

因此：

$\frac{\partial ν}{\partial A}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathrm{Tr}[\mathrm{i}\nabla_k]=\frac{1}{2πi}\oint_{\partial BZ}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$

其中$\partial BZ$表示Brillouin区域的边界，$\mathbf{A}$是Berry规范的矢势形式。根据斯托克斯定理，我们可以将上式转化为：

$\frac{\partial ν}{\partial A}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathbf{B}$

其中$\mathbf{B}$是Berry联络的旋度。因此，当施加外电场时，拓扑不变量的变化率为：

$\frac{\partial ν}{\partial A}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathbf{B}=-\frac{e}{h}\int_{BZ}d^2k\ \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$

这表明施加电场会引起自发磁化，其大小正比于电场和磁场的耦合强度。同理，当施加外磁场时，拓扑不变量的变化率为：

$\frac{\partial ν}{\partial B}=\frac{1}{2πi}\int_{BZ}d^2k\ \mathbf{E}=-\frac{1}{h}\int_{BZ}d^2k\ \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$

这表明施加磁场会引起自发电极化，其大小正比于电场和磁场的耦合强度。综上所述，拓扑磁电效应是由于拓扑结构导致的磁场和电场耦合的效应。