调制信号的宽平稳性与功率谱密度分析

本文将探讨一个调制信号Y(t) = X(t)cos(w₀t+θ)的统计特性，其中：

我们将分析以下两个问题：

(1) Y(t)是否是宽平稳的？

为了确定Y(t)是否宽平稳，我们需要检查其均值和自相关函数是否与时间无关。

首先，计算Y(t)的均值：

E[Y(t)] = E[X(t)cos(w₀t+θ)]

由于X(t)均值为0，且cos(w₀t+θ)的期望值是一个常数（θ服从均匀分布），因此E[Y(t)] = 0，这意味着Y(t)的均值与时间t无关。

接下来，计算Y(t)的自相关函数：

R_Y(t₁, t₂) = E[Y(t₁)Y(t₂)]

R_Y(t₁, t₂) = E[X(t₁)cos(w₀t₁+θ)X(t₂)cos(w₀t₂+θ)]

由于X(t)与θ独立，我们可以将期望值分开计算：

R_Y(t₁, t₂) = E[X(t₁)X(t₂)]E[cos(w₀t₁+θ)cos(w₀t₂+θ)]

根据X(t)的平稳性，R_X(t₁, t₂) = E[X(t₁)X(t₂)]仅与时间差(t₁-t₂)有关。同时，cos(w₀t₁+θ)cos(w₀t₂+θ)也仅依赖于时间差(t₁-t₂)。

因此，R_Y(t₁, t₂)仅依赖于时间差(t₁-t₂)，即Y(t)的自相关函数与时间无关。

综上，Y(t)的均值和自相关函数均与时间无关，因此Y(t)是宽平稳的。

(2) Y(t)的功率谱密度是多少？

根据宽平稳过程的性质，Y(t)的功率谱密度等于其自相关函数的傅里叶变换的绝对值的平方。

令Y(t)的自相关函数为R_Y(τ)，其中τ = t₁-t₂。

Y(t)的功率谱密度为S_Y(f)，其中f为频率：

S_Y(f) = |F{R_Y(τ)}|²

在本例中，我们可以计算Y(t)的自相关函数R_Y(τ)：

R_Y(τ) = E[Y(t)Y(t+τ)]

R_Y(τ) = E[X(t)cos(w₀t+θ)X(t+τ)cos(w₀(t+τ)+θ)]

同样地，我们可以将期望值分开计算：

R_Y(τ) = E[X(t)X(t+τ)]E[cos(w₀t+θ)cos(w₀(t+τ)+θ)]

根据X(t)与θ的独立性，我们可以将期望值分开计算：

R_Y(τ) = R_X(τ)E[cos(w₀t+θ)cos(w₀(t+τ)+θ)]

根据平稳随机过程的性质，R_X(τ) = R_X(0)是一个常数（与时间差τ无关）。

现在我们需要计算E[cos(w₀t+θ)cos(w₀(t+τ)+θ)]。由于θ在区间[0, 2π]上均匀分布，它与时间t和τ无关，可以将其视为常数，记为C(θ)。

因此，R_Y(τ) = R_X(0)C(θ)。

现在，我们可以计算Y(t)的功率谱密度：

S_Y(f) = |F{R_Y(τ)}|²

S_Y(f) = |F{R_X(0)C(θ)}|²

S_Y(f) = |R_X(0)F{C(θ)}|²

由于C(θ)是常数，它的傅里叶变换F{C(θ)}将得到一个脉冲函数。

因此，Y(t)的功率谱密度S_Y(f)是一个幅度为R_X(0)的平方的脉冲函数。

结论

综上所述，对于给定的调制信号Y(t):