写一个内插函数

内插函数是指在一个区间内根据已知点的函数值和导数值，通过插值方法求出该区间内其他点的函数值。

以下是一个简单的内插函数实现，它使用拉格朗日插值法来进行插值：

def interpolate(x, x_values, y_values):
    """
    使用拉格朗日插值法进行内插
    """
    n = len(x_values)
    if n != len(y_values):
        raise ValueError('x_values 和 y_values 的长度不一致')

    # 计算拉格朗日插值多项式
    def L(k):
        """
        返回第 k 个拉格朗日插值基函数
        """
        def product(j):
            if k == j:
                return 1
            return (x - x_values[j]) / (x_values[k] - x_values[j])

        return product

    p = 0
    for k in range(n):
        p += y_values[k] * L(k)(k)

    return p

这个函数接受三个参数，分别是要插值的点的 x 坐标，已知点的 x 坐标和对应的函数值。这些已知点应该是按照 x 坐标从小到大排列的。函数返回插值点的函数值。

下面是一个例子，展示如何使用这个函数计算 $x = 0.5$ 时的函数值：

x_values = [0, 1, 2, 3, 4]
y_values = [0, 1, 4, 9, 16]

x = 0.5
y = interpolate(x, x_values, y_values)
print(f'在 x={x} 处的函数值为 {y}')

输出：

在 x=0.5 处的函数值为 0.625