怎么用拉格朗日求极限

拉格朗日求极限可以用于求解函数在某些限制条件下的最大值和最小值，具体步骤如下：

1. 确定函数和限制条件，例如$f(x,y)=x^2+2y^2$，限制条件为$x+y=1$。

2. 将限制条件转化为一个等式，即$g(x,y)=x+y-1=0$。

3. 构造拉格朗日函数$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$，其中$\lambda$是拉格朗日乘子。

4. 对$L(x,y,\lambda)$分别对$x,y,\lambda$求偏导数，并令其等于0，解出$x,y,\lambda$的值。

5. 将$x,y$的值代入$f(x,y)$中，得到极限值。

例如，对于上面的函数和限制条件，构造拉格朗日函数$L(x,y,\lambda)=x^2+2y^2+\lambda(x+y-1)$，分别对$x,y,\lambda$求偏导数得到：

$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0$

$\frac{\partial L}{\partial y}=4y+\lambda=0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0$

解方程组得到$x=-\frac{1}{3}$，$y=\frac{4}{3}$，$\lambda=-\frac{10}{3}$，将$x,y$代入$f(x,y)$中，得到极限值为$\frac{16}{9}$。