恰当微分方程求解：详细步骤和示例

3.2 恰当微分方程求解：详细步骤和示例

本节将以方程 (sin⁡x+2xy^2+1/y)dx+(1/y^2+2x^2y−x/y^2)dy=0 为例，详细讲解如何确定微分方程的定义域、验证其是否为恰当方程，并利用通解公式和分组凑微分法求解。

3.2. a) 确定定义域 & 验证恰当性 (3分)

1. 确定定义域:

观察方程 (sin⁡x+2xy^2+1/y)dx+(1/y^2+2x^2y−x/y^2)dy=0，发现分母中存在 y 和 y^2，因此 y ≠ 0。

所以，定义域为 y ≠ 0。

2. 验证恰当性:

• 计算偏导数： - ∂M/∂y = 4xy + 1/y^2 - ∂N/∂x = 4x^2y - 1/y^2- 检查连续性： - ∂M/∂y 和 ∂N/∂x 在整个定义域上都是连续的。

由于偏导数连续且相等 (∂M/∂y = ∂N/∂x)，所以该方程是 恰当方程。

3.2. b) 利用通解公式求隐式通解 (12分)

恰当方程的通解公式为：∫Mdx + ∫Ndy = C

1. 计算 ∫Mdx 和 ∫Ndy： - ∫Mdx = ∫(sin⁡x+2xy^2+1/y)dx = -cos⁡x + x^2y^2 + ln|y| + C1 - ∫Ndy = ∫(1/y^2+2x^2y−x/y^2)dy = -1/y + x^2y^2 - 1/(2y^2) + C22. 代入通解公式： - -cos⁡x + x^2y^2 + ln|y| - 1/y + x^2y^2 - 1/(2y^2) = C

因此，隐式通解为：-cos⁡x + 2x^2y^2 + ln|y| - 1/y - 1/(2y^2) = C

3.2. c) 利用分组凑微分法求通解 (8分)

1. 对原方程进行分组凑微分： - (sin⁡x+2xy^2)dx + (1/y+2x^2y−x/y^2)dy = -1/y^2 dy + dx2. 重新组合： - d(-cos⁡x) + d(x^2y^2) = -1/y^2 dy + dx3. 应用积分： - ∫d(-cos⁡x) + ∫d(x^2y^2) = ∫-1/y^2 dy + ∫dx - -cos⁡x + x^2y^2 = 1/y + C

因此，隐式通解为：-cos⁡x + x^2y^2 = 1/y + C

3.2. d) 求满足特定初始条件的特解 (5分)

已知初始条件为 y(1) = 2。

1. 将初始条件代入隐式通解： - -cos⁡1 + (1^2)(2^2) = 1/2 + C2. 解出 C: - C = -cos⁡1 + 4 - 1/2 = -cos⁡1 + 7/2

因此，满足条件 y(1) = 2 的特解为：-cos⁡x + x^2y^2 = 1/y + 7/2