λ取何值时，非齐次线性方程组有唯一解、无解或无限多解？

λ取何值时，非齐次线性方程组有唯一解、无解或无限多解？

为确定非齐次线性方程组的解的情况，我们需要考虑其系数矩阵和增广矩阵的秩以及方程组的个数。

问题：

给定方程组：

λx₁ + x₂ + x₃ = 1 -- (1) x₁ + λx₂ + x₃ = λ -- (2) x₁ + x₂ + λx₃ = λ² -- (3)

解答：

1. 构建矩阵

将方程组写成矩阵形式：

A * X = B

其中，

A 为系数矩阵：

A =
[λ 1 1]
[1 λ 1]
[1 1 λ]

X 为未知数向量：

X = [x₁] [x₂] [x₃]

B 为常数向量：

B = [1] [λ] [λ²]

2. 计算行列式

计算系数矩阵 A 的行列式：

det(A) = λ(λ-1)(λ-1)

3. 分析行列式与解的关系

根据行列式的值，我们可以得到以下结论：

a) 当 λ ≠ 0, 1 时，行列式不等于零，即 det(A) ≠ 0。这意味着方程组的系数矩阵是满秩的，且方程组存在唯一解。

b) 当 λ = 0 或 λ = 1 时，行列式等于零，即 det(A) = 0。这意味着方程组的系数矩阵不满秩，可能存在无解或者有无限多解，需要进一步讨论。

4. 高斯消元法讨论 λ = 0 和 λ = 1 的情况

a) 当 λ = 0 时，方程组变为：

0x₁ + x₂ + x₃ = 1 x₁ + 0x₂ + x₃ = 0 x₁ + x₂ + 0*x₃ = 0

可以看出，第一个方程与后两个方程矛盾，因此方程组无解。

b) 当 λ = 1 时，方程组变为：

x₁ + x₂ + x₃ = 1 x₁ + x₂ + x₃ = 1 x₁ + x₂ + x₃ = 1

三个方程等价，方程个数大于未知数个数，方程组有无限多解。

5. 求通解 (λ = 1)

将 λ = 1 代入原方程组，可得 x₁ + x₂ + x₃ = 1。

方程组的通解可以表示为：

x₁ = 1 - x₂ - x₃ x₂ = x₂ x₃ = x₃

结论：

对于给定的非齐次线性方程组：

1. 当 λ ≠ 0, 1 时，方程组有唯一解。

2. 当 λ = 0 时，方程组无解。

3. 当 λ = 1 时，方程组有无限多解，其通解可以表示为 x₁ = 1 - x₂ - x₃, x₂ = x₂, x₃ = x₃。