实对称矩阵的性质：如果A²=0，则A=0

证明：

已知 A 为实对称矩阵，满足 A² = 0。我们需要证明 A = 0。

实对称矩阵的定义: 由于 A 是实对称矩阵，所以 A 的转置等于它本身，即 Aᵀ = A。
反证法: 假设 A 不等于零矩阵。这意味着 A 中至少存在一个非零元素 aᵢⱼ。
矩阵乘法的定义: 考虑 A² 的元素 (A²)_ᵢⱼ，根据矩阵乘法的定义，(A²)_ᵢⱼ = ∑(A_ᵢₖ * A_ₖⱼ)，其中 ∑ 表示对 k 的求和，k 的范围是矩阵 A 的列数。
矛盾: 由于 A² = 0，所以对于任意的 i 和 j，(A²)_ᵢⱼ = 0。这意味着 ∑(A_ᵢₖ * A_ₖⱼ) = 0。然而，当 k = j 时，由于 A_ᵢⱼ 不等于零，∑(A_ᵢₖ * A_ₖⱼ) 不等于零，这与 (A²)_ᵢⱼ = 0 相矛盾。
结论: 因此，我们的假设是错误的，A 中所有元素都必须为零，即 A = 0。

综上所述，如果 A 是实对称矩阵且 A² = 0，则 A = 0。