常微分方程数值解：使用 Euler 方法计算并与解析解比较 (Matlab 实现)

根据你的要求，我们可以使用 Euler 方法来计算常微分方程的数值解，并将计算结果与解析解进行比较。Euler 方法是一种基本的数值求解常微分方程的方法，通过将微分方程转化为差分方程，逐步迭代求解。具体步骤如下：

1. 首先，我们需要定义微分方程。根据题目要求，微分方程为 dx/dt = 2/t * x + t^2 * e^t。

2. 接下来，我们需要确定求解的时间范围。根据题目要求，求解的时间范围是 t∈[1, 2]。

3. 然后，我们需要选择步长。步长可以根据需要自行确定，一般选择足够小的值以保证数值解的精度。

4. 接下来，我们可以使用 Euler 方法进行迭代计算。具体迭代步骤如下：

   • 初始化初始条件 x0 和时间 t0 为方程的初始条件。
   • 设置迭代步数 N，计算每一步的时间间隔 h = (t_end - t0) / N。
   • 迭代计算每一步的数值解，使用差分方程 x(i+1) = x(i) + h * (2/t(i) * x(i) + t(i)^2 * e^t(i))，其中 i 表示迭代步数。
   • 将每一步的数值解存储起来。

5. 最后，我们可以将数值解与解析解进行比较，并分析误差。可以使用图形展示数值解和解析解的对比情况。

下面是使用 Matlab 实现 Euler 方法计算常微分方程的数值解并进行比较的代码：

% 定义微分方程
f = @(t, x) 2./t .* x + t.^2 .* exp(t);

% 定义解析解
analytical_solution = @(t) 3./t.^2 .* exp(t);

% 求解的时间范围
t_start = 1;
t_end = 2;

% 步长
h = 0.01;

% 初始化初始条件
x0 = 3;
t0 = t_start;

% 计算步数
N = ceil((t_end - t0) / h);

% 初始化数值解和时间向量
x_numerical = zeros(N+1, 1);
t = zeros(N+1, 1);

% 迭代计算数值解
x_numerical(1) = x0;
t(1) = t0;

for i = 1:N
    t(i+1) = t(i) + h;
    x_numerical(i+1) = x_numerical(i) + h * f(t(i), x_numerical(i));
end

% 计算解析解
x_analytical = analytical_solution(t);

% 计算误差
error = abs(x_analytical - x_numerical);

% 输出最后一个时间步的数值解和误差
disp('数值解: ' + x_numerical(end));
disp('误差: ' + error(end));

% 绘制数值解和解析解的图形
plot(t, x_numerical, 'r', t, x_analytical, 'b');
xlabel('t');
ylabel('x');
title('Comparison of Numerical and Analytical Solutions');
legend('Numerical Solution', 'Analytical Solution');
grid on;

以上代码实现了使用 Euler 方法计算常微分方程的数值解，并将数值解和解析解进行比较。程序会输出最后一个时间步的数值解和误差，并绘制数值解和解析解的图形。你可以根据需要调整步长和求解的时间范围，以及定义自己的微分方程和解析解。