改进 Euler 法计算常微分方程数值解与 Euler 法对比分析

根据你的要求，我们可以使用改进的 Euler 方法来计算常微分方程的数值解，并将计算结果与 Euler 方法进行比较，最后进行可视化分析。改进的 Euler 方法是一种对 Euler 方法进行修正的数值求解常微分方程的方法，它利用函数在每个步长上的平均斜率来进行迭代。具体步骤如下：

首先，我们需要定义微分方程。根据题目要求，微分方程为 dx/dt = 1/t * (x^2 + x)。
接下来，我们需要确定求解的时间范围。根据题目要求，求解的时间范围是 t∈[1, 3]。
然后，我们需要选择步长。步长可以根据需要自行确定，一般选择足够小的值以保证数值解的精度。
接下来，我们可以使用改进的 Euler 方法进行迭代计算。具体迭代步骤如下：
- 初始化初始条件 x0 和时间 t0 为方程的初始条件。
- 设置迭代步数 N，计算每一步的时间间隔 h = (t_end - t0) / N。
- 迭代计算每一步的数值解，使用差分方程 x(i+1) = x(i) + h * 0.5 * (f(t(i), x(i)) + f(t(i) + h, x(i) + h * f(t(i), x(i))))，其中 i 表示迭代步数。
- 将每一步的数值解存储起来。
最后，我们可以将数值解与 Euler 方法的数值解进行比较，并分析不同步长下计算结果的变化情况。可以使用图形展示数值解和 Euler 方法的数值解的对比情况。

下面是使用 Matlab 实现改进的 Euler 方法计算常微分方程的数值解并进行比较的代码：

% 定义微分方程
f = @(t, x) 1./t .* (x.^2 + x);

% 求解的时间范围
t_start = 1;
t_end = 3;

% 步长
h = 0.01;

% 初始化初始条件
x0 = -1;
t0 = t_start;

% 计算步数
N = ceil((t_end - t0) / h);

% 初始化数值解和时间向量
x_improved_euler = zeros(N+1, 1);
x_euler = zeros(N+1, 1);
t = zeros(N+1, 1);

% 迭代计算数值解（改进的 Euler 方法和 Euler 方法）
x_improved_euler(1) = x0;
x_euler(1) = x0;
t(1) = t0;

for i = 1:N
    t(i+1) = t(i) + h;
    x_improved_euler(i+1) = x_improved_euler(i) + h * 0.5 * (f(t(i), x_improved_euler(i)) + f(t(i) + h, x_improved_euler(i) + h * f(t(i), x_improved_euler(i))));
    x_euler(i+1) = x_euler(i) + h * f(t(i), x_euler(i));
end

% 计算误差
error = abs(x_improved_euler - x_euler);

% 输出最后一个时间步的数值解和误差
disp('改进的 Euler 法数值解: ' + x_improved_euler(end));
disp('Euler 法数值解: ' + x_euler(end));
disp('误差: ' + error(end));

% 绘制数值解和 Euler 法数值解的图形
plot(t, x_improved_euler, 'r', t, x_euler, 'b');
xlabel('t');
ylabel('x');
title('Comparison of Improved Euler Method and Euler Method');
legend('Improved Euler Method', 'Euler Method');
grid on;

以上代码实现了使用改进的 Euler 方法计算常微分方程的数值解，并将数值解与 Euler 方法的数值解进行比较。程序会输出最后一个时间步的数值解和误差，并绘制数值解和 Euler 方法的数值解的图形。你可以根据需要调整步长和求解的时间范围，以及定义自己的微分方程。通过观察不同步长下计算结果的变化情况，可以分析数值解的精度和稳定性。