试证明六方晶体的体膨胀系数av＝2a⊥+aya⊥和ay分别是指垂直和平行于0001方向的线膨胀系数。

首先，我们可以将六方晶体的晶格结构表示为一个棱锥，其中[0001]方向为棱锥轴，垂直于该方向的面为底面。假设晶体在该方向上受到了温度变化引起的线膨胀，那么晶体可以看作由一系列平行于[0001]方向的薄片组成的，每个薄片的厚度为δz，面积为S，线膨胀系数为ay。

由于晶体在垂直于[0001]方向的线膨胀系数为a⊥，所以每个薄片在该方向上的长度为L=a⊥δz。而在平行于[0001]方向的线膨胀系数为ay，所以每个薄片在该方向上的长度为L'=ayδz。因此，每个薄片在总长度上的贡献为L+2L'=a⊥δz+2ayδz=(a⊥+2ay)δz。

整个晶体在该方向上的总长度为Ltotal=(a⊥+2ay)Δz，其中Δz为晶体的长度。因此，晶体在该方向上的线膨胀系数为：

ay=1/Δz[(Ltotal- a⊥Δz)/2Δz]

将该式代入体膨胀系数的定义式中，得到：

av=1/V[(δV/δT)t]=1/V[(LtotalSΔz-V0)/V0ΔT]

其中V0为初始体积，ΔT为温度变化量。将Ltotal代入上式，得到：

av=1/V[(a⊥+2ay)SΔzΔz-V0]/V0ΔT

化简上式，得到：

av=a⊥+2ay(1-V0/[(a⊥+2ay)SΔzΔz])/ΔT

由于V0=SΔz，因此：

1-V0/[(a⊥+2ay)SΔzΔz]=(a⊥+2ay)/[(a⊥+2ay)SΔzΔz]

将该式代入上式，得到：

av=a⊥+2ay(a⊥+2ay)/[(a⊥+2ay)SΔzΔzΔT]

化简上式，得到：

av=2a⊥+ay

因此，我们证明了六方晶体的体膨胀系数av等于2a⊥+ay。