牛顿迭代法求解方程：详细步骤与示例

使用牛顿迭代法求解方程：12 - 3x + 2cos(x) = 0

本文将详细介绍如何使用牛顿迭代法求解方程 12 - 3x + 2cos(x) = 0，并演示如何计算第二次迭代的近似值。

1. 牛顿迭代法的迭代公式：

牛顿迭代法的迭代公式为： xₙ₊₁ = xₙ - f(xₙ) / f'(xₙ)

其中：

• xₙ 为第 n 次迭代的近似值 - f(xₙ) 为方程在 xₙ 处的函数值 - f'(xₙ) 为方程在 xₙ 处的导数值

2. 计算函数值和导数值：

对于方程 12 - 3x + 2cos(x) = 0，我们有：

• f(x) = 12 - 3x + 2cos(x) - f'(x) = -3 - 2sin(x)

3. 第一次迭代：

题目已知方程在 x₀ = 3 附近有根。因此，我们可以将 x₀ = 3 代入公式，得到第一次迭代的近似值 x₁：

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀) = 3 - (12 - 3 * 3 + 2cos(3)) / (-3 - 2sin(3)) ≈ 3 - 5.0108 / (-5.5794) ≈ 3.8967

4. 第二次迭代：

现在我们已经得到了第一次迭代的近似值 x₁ ≈ 3.8967。将其代入牛顿迭代公式，即可计算第二次迭代的近似值 x₂：

x₂ = x₁ - f(x₁) / f'(x₁) ≈ 3.8967 - (12 - 3 * 3.8967 + 2cos(3.8967)) / (-3 - 2sin(3.8967)) ≈ ...

将 x₁ 的值代入公式并计算，即可得到 x₂ 的近似值。

注意：

• 为了获得更高的精度，可以进行更多次的迭代。- 实际应用中，通常会设置一个误差限，当两次迭代的差值小于误差限时停止迭代。