∫_0^e^x▒〖u^-12 e^-su du〗 你会求这个嘛

这个积分可以通过分部积分来求解。

设 $f(u)=u^{-1/2}$，$g'(u)=e^{-su}$，则有： $$ \begin{aligned} \int u^{-1/2} e^{-su} du &= f(u) g(u) - \int f'(u) g(u) du \ &= u^{-1/2} e^{-su} - \frac{1}{2} \int u^{-3/2} e^{-su} du \ &= u^{-1/2} e^{-su} + \frac{1}{2s} u^{-3/2} e^{-su} + C \end{aligned} $$ 其中 $C$ 为常数。

将上式代入原积分，得到： $$ \begin{aligned} \int_0^{e^x} u^{-1/2} e^{-su} du &= \left[ u^{-1/2} e^{-su} + \frac{1}{2s} u^{-3/2} e^{-su} \right]_0^{e^x} \ &= e^{-sx} + \frac{1}{2s} e^{-s e^x} - \frac{1}{2s} \end{aligned} $$ 因此，原积分的值为： $$ \int_0^{e^x} u^{-1/2} e^{-su} du = e^{-sx} + \frac{1}{2s} e^{-s e^x} - \frac{1}{2s} - \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \mathrm{erf}(\sqrt{s e^x}) $$ 其中 $\mathrm{erf}(x)$ 表示误差函数。