二项分布的基本性质及证明

二项分布是离散型概率分布，表示在$n$次独立重复试验中，成功事件发生$k$次的概率分布。其概率质量函数为：

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

其中，$\binom{n}{k}$为组合数，表示从$n$个物品中选出$k$个物品的组合数。$p$为每次试验成功的概率，$1-p$为失败的概率。

二项分布的基本性质：

$P(X=k)\geq 0$，即概率非负。
$\sum_{k=0}^{n}P(X=k)=1$，即概率和为1。
$E(X)=np$，即期望值为$n$次试验中成功次数的平均值。
$Var(X)=np(1-p)$，即方差为$n$次试验中成功次数的方差。

证明：

$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\geq 0$，因为组合数、概率$p$和$1-p$都非负，所以概率非负。
$\sum_{k=0}^{n}P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1$，根据二项式定理，得到概率和为1。
$E(X)=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

将$k$提出来，得到：

$E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

将$\binom{n}{k}$拆分，得到：

$E(X)=\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}kp^k(1-p)^{n-k}$

将$n!$提取，得到：

$E(X)=\frac{np}{1-p}\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$

将$k-1$替换为$k$，得到：

$E(X)=\frac{np}{1-p}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}$

根据概率和为1，得到：

$E(X)=np$

因此，期望值为$n$次试验中成功次数的平均值。

$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2$，而$E(X^2)$为：

$E(X^2)=\sum_{k=0}^{n}k^2P(X=k)=\sum_{k=0}^{n}k(k-1)P(X=k)+\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)$

将$k(k-1)$提出来，得到：

$E(X^2)=\sum_{k=2}^{n}k(k-1)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

将$\binom{n}{k}$拆分，得到：

$E(X^2)=\sum_{k=2}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}kp^k(1-p)^{n-k}$

将$n!$提取，得到：

$E(X^2)=\frac{n(n-1)p^2}{(1-p)^2}\sum_{k=2}^{n}\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+\frac{np}{1-p}\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-k}$

将$k-2$替换为$k$，得到：

$E(X^2)=\frac{n(n-1)p^2}{(1-p)^2}\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}p^{k}(1-p)^{n-2-k}+\frac{np}{1-p}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{n-1-k}$

根据概率和为1，得到：

$E(X^2)=n(n-1)p^2+n^2p(1-p)$

因此，方差为：

$Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=np(1-p)$