证明：如果 U1、U2、W 是 V 的子空间且 U1 + W = W + U2，则 U1 = U2

要证明如果 U1、U2、W 是向量空间 V 的子空间，且 U1 + W = W + U2，则 U1 = U2。我们可以使用如下的证明：

根据假设的条件 U1 + W = W + U2，我们需要证明 U1 包含于 U2 和 U2 包含于 U1。

1. U1 包含于 U2： 对于任意的向量 u1 ∈ U1，我们需要证明 u1 ∈ U2。 由于 U1 + W = W + U2，所以 u1 = w + u2，其中 w ∈ W，u2 ∈ U2。 将 u1 的表达式代入，得到 w + u2 ∈ U2。由于 U2 是向量空间，所以 w + u2 属于 U2。 因此，我们证明了 u1 属于 U2，即 U1 包含于 U2。

2. U2 包含于 U1： 对于任意的向量 u2 ∈ U2，我们需要证明 u2 ∈ U1。 类似地，由于 U1 + W = W + U2，我们有 u2 = w + u1，其中 w ∈ W，u1 ∈ U1。 将 u2 的表达式代入，得到 w + u1 ∈ U1。由于 U1 是向量空间，所以 w + u1 属于 U1。 因此，我们证明了 u2 属于 U1，即 U2 包含于 U1。

综上所述，根据包含关系的双向证明，我们得出结论 U1 = U2。