回顾并总结本课程所学的有关线性方程组的理论与计算。应包含但不限于如下内容：1-1齐次线性方程组解的结构：验证其解集是一个向量空间：非齐次线性方程组有解的充分必要条件：非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系：1-2 简述解线性方程组在本课程其他章节中的应用：1-3 如何求两个线性方程组的公共解？可通过举一个简单的例子说明：1-4 反求线性方程组的问题：通

1-1 齐次线性方程组解的结构：齐次线性方程组的解集是一个向量空间，满足以下性质：

1. 解集中包含零向量；
2. 对于任意两个解向量，它们的线性组合仍然是该解集中的向量；
3. 解集中的任意一个向量的加法逆元也在解集中。

非齐次线性方程组有解的充分必要条件是，其系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。在有解的前提下，可以通过高斯消元法或矩阵求逆法求解非齐次线性方程组。其解集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系为，非齐次线性方程组的解集是齐次线性方程组的解集加上一个特解。

1-2 解线性方程组在本课程其他章节中的应用包括线性相关与线性无关、矩阵的秩、线性变换、特征值与特征向量等方面。

1-3 求两个线性方程组的公共解可以通过将两个方程组的系数矩阵组成一个新矩阵，然后对该矩阵进行高斯消元，得到简化阶梯矩阵后，将其转换成增广矩阵，就可以得到两个方程组的公共解。

例如，考虑以下两个方程组：

2x + 3y - z = 1 x - 2y + z = -1

x + y - z = 0 2x + 3y - z = 1

将它们的系数矩阵组成一个新矩阵，得到：

[2 3 -1 | 1] [1 -2 1 |-1] [1 1 -1 | 0] [2 3 -1 | 1]

对该矩阵进行高斯消元，得到简化阶梯矩阵：

[1 0 0 | 1/5] [0 1 0 |-2/5] [0 0 1 | 1/5] [0 0 0 | 0]

将其转换成增广矩阵，得到两个方程组的公共解为：

x = 1/5 - y/5 + z/5 y = -2/5 z = 1/5

1-4 反求线性方程组的问题：对于给定的向量组，可以通过构造齐次线性方程组的系数矩阵，使得该齐次线性方程组的基础解系恰好为给定的向量组。具体地，将给定向量组按列组成一个矩阵，然后对该矩阵进行高斯消元，得到简化阶梯矩阵后，将其转换成增广矩阵，就可以得到齐次线性方程组的系数矩阵。

非齐次情形下，可以将给定向量组作为非齐次线性方程组的解集，然后通过向其中添加一个特解，得到对应的非齐次线性方程组。

例如，给定向量组为{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)}，要构造一个齐次线性方程组，使得其基础解系恰好为该向量组，可以将该向量组按列组成一个矩阵：

[1 0 1] [0 1 1] [1 1 2]

对该矩阵进行高斯消元，得到简化阶梯矩阵：

[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]

将其转换成增广矩阵，得到齐次线性方程组的系数矩阵：

[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]

非齐次情形下，可以将该向量组作为非齐次线性方程组的解集，然后通过向其中添加一个特解，得到对应的非齐次线性方程组。

1-5 两个线性方程组同解的充分必要条件是，它们的增广矩阵等价。等价的定义是，一个矩阵可以通过有限次初等行变换和初等列变换转化为另一个矩阵。

用 Gauss 消元法解线性方程组的正确性可以从矩阵乘法和线性方程组的“生成”两方面来理解。从矩阵乘法的角度，高斯消元法本质上是将系数矩阵乘以一个初等矩阵的过程，而初等矩阵是可逆矩阵，因此高斯消元法不改变线性方程组的解集。从线性方程组的“生成”角度来看，线性方程组的解集是由系数矩阵的行向量生成的向量空间，高斯消元法本质上是通过初等行变换将系数矩阵的行向量组成一个线性无关的向量组，从而得到线性方程组的基础解系。