Zakamouline的双渐近解 计算过程

我们考虑函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}$，首先求出$f(x)$当$x$趋近于无穷大时的渐近行为。当$x$趋近于无穷大时，$1/x$和$1/(x-1)$的绝对值都趋近于零，因此$f(x)$可以近似为$1/x$。因此，$f(x)$的水平渐近线是$y=0$。

接下来，我们考虑$f(x)$当$x$趋近于$1$时的渐近行为。我们可以将$f(x)$写成以下形式：

$$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2-x-1}{x-1}$$

因此，当$x$趋近于$1$时，$f(x)$可以近似为$\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^2-x-1}{x(x-1)}$。我们可以使用L'Hôpital法则来求出这个函数的渐近行为。首先，我们对$\frac{x^2-x-1}{x(x-1)}$进行因式分解，得到：

$$\frac{x^2-x-1}{x(x-1)}=\frac{x^2}{x(x-1)}-\frac{x}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-1)}$$

因此，当$x$趋近于$1$时，$f(x)$可以近似为$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-1)}$。我们对这个函数分别对$x=1$和$x=\infty$进行极限运算，得到：

$$\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-1)}\right)=\lim_{x\rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-1)}\right)=\infty$$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x(x-1)}\right)=0$$

因此，$f(x)$有一个斜渐近线，斜率为$\infty$，截距为$0$，以及一个水平渐近线$y=0$。

综上所述，$f(x)$的双渐近解为斜渐近线$y=\infty x$和水平渐近线$y=0$。