单调集合族的性质证明：存在包含任意两元素的集合

命题： 如果 Γ 是单调的，则任给 x, y ∈ ∪Γ，存在 X∈Γ，使得 x, y ∈ X。

证明：

设 Γ 是一个单调的集合族，且 x、y 属于其并集 ∪Γ。
根据并集的定义， x 属于 ∪Γ 表示存在某个集合 A 属于 Γ，使得 x 属于 A。同样地，y 属于 ∪Γ 表示存在某个集合 B 属于 Γ，使得 y 属于 B。
构造集合 C = A ∪ B， 其中 A 和 B 分别是 Γ 中的集合。
证明 C 是 Γ 中的一个集合: * 由于 A 属于 Γ，根据 Γ 的单调性，对于任意的集合 D 属于 Γ，如果 A 是 D 的子集，则 D 也属于 Γ。 * 因此，A 是 C 的子集，即 A ⊆ C。 * 同样地，由于 B 属于 Γ，B 也是 C 的子集，即 B ⊆ C。 * 因此，C = A ∪ B 是 Γ 中的一个集合，即 C 属于 Γ。
证明 x 和 y 同时属于 C: * 由于 x 属于 A，所以 x 属于 C（因为 A ⊆ C）。 * 同样地，由于 y 属于 B，所以 y 属于 C（因为 B ⊆ C）。
结论: 我们证明了存在一个集合 C 属于 Γ（即 C = A ∪ B），使得 x 和 y 同时属于 C。因此，如果 Γ 是单调的，则对于任意的 x 和 y 属于 ∪Γ，存在一个集合 X 属于 Γ，使得 x 和 y 同时属于 X。