凸组合定义及性质：最优化中的重要概念

在最优化领域，凸组合是一个重要的概念，它指的是一组点的线性组合，其中每个点的权重都是非负的并且总和为 1。

给定一组点 x1, x2, ..., xn 和对应的非负实数权重 λ1, λ2, ..., λn，满足 λ1 + λ2 + ... + λn = 1，凸组合定义为：

C = λ1 * x1 + λ2 * x2 + ... + λn * xn

其中，C 表示凸组合的结果，xi 表示第 i 个点，λi 表示第 i 个点的权重。

凸组合的定义要求权重满足非负性和总和为 1 的条件。这个定义确保了凸组合中的每个点的贡献都是按照权重进行线性组合的，并且权重的总和为 1。因此，凸组合可以看作是对一组点的加权平均。

凸组合具有以下重要性质：

凸组合的结果仍然在原始点所在的凸集中： 如果每个点都属于一个凸集 C，那么凸组合的结果也属于凸集 C。换句话说，凸组合保持了原始点所在凸集的凸性质。
对于任意两个点的凸组合，结果介于这两个点之间： 对于任意权重 λ 和 1-λ，凸组合 λ * x1 + (1-λ) * x2 的结果位于 x1 和 x2 连线上的某一点。这个性质可以用来描述凸组合的结果在两个点之间的插值作用。

凸组合的定义和性质在最优化问题中具有重要的应用。在优化算法中，凸组合可以用于构造优化问题的目标函数和约束条件。通过对决策变量进行凸组合，可以得到可行解空间的边界，并且可以在凸集上进行优化。此外，在凸优化中，最优解通常可以通过对凸组合进行分析和求解来获得。