凸组合定义：最优化中的核心概念

在最优化中，'凸组合'是指对于一组点的线性组合，其中每个点的权重都是非负的并且总和为 1。

给定一组点 x1, x2, ..., xn 和对应的非负实数权重 λ1, λ2, ..., λn，满足 λ1 + λ2 + ... + λn = 1，凸组合定义为：

C = λ1 * x1 + λ2 * x2 + ... + λn * xn

其中，C 表示凸组合的结果，xi 表示第 i 个点，λi 表示第 i 个点的权重。

凸组合的定义要求权重满足非负性和总和为 1 的条件。这个定义确保了凸组合中的每个点的贡献都是按照权重进行线性组合的，并且权重的总和为 1。因此，凸组合可以看作是对一组点的加权平均。

凸组合的性质

凸组合的结果仍然在原始点所在的凸集中。如果每个点都属于一个凸集 C，那么凸组合的结果也属于凸集 C。
对于两个点的凸组合，结果介于这两个点之间。对于任意权重 λ 和 1-λ，凸组合 λ * x1 + (1-λ) * x2 的结果位于 x1 和 x2 连线上的某一点。

凸组合的定义在最优化问题中具有重要的应用。例如，在线性规划中，通过对决策变量进行凸组合可以得到可行解空间的边界。此外，在凸优化算法中，凸组合可以用于构造优化问题的目标函数和约束条件，以及进行最优解的搜索和求解。