已知△ ABC 内角 A 、 B 及其对边 a 、 b 满足 a b = acotA bcotB 求角 C

根据三角函数的定义，有：

$$\begin{cases}a=\frac{b\cot B}{\cot A}\c=\frac{b}{\sin A}\end{cases}$$

将其代入正弦定理得：

$$\frac{b}{\sin B}=\frac{b\cot B}{\cot A}\cdot\frac{\sin C}{\sin A}+\frac{b}{\sin A}$$

化简得：

$$\sin C=\frac{\sin A\sin B}{\cot A+\cot B}$$

再利用余弦定理得：

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\cot A+\cot B}{\sin A\sin B}$$

由于 $\sin^2 C+\cos^2 C=1$，带入上面的式子得：

$$\sin^2 C=1-\cos^2 C=1-\frac{(\cot A+\cot B)^2}{\sin^2 A\sin^2 B}$$

因此：

$$\sin C=\sqrt{1-\frac{(\cot A+\cot B)^2}{\sin^2 A\sin^2 B}}$$

最后求得 $\angle C=\arcsin\sqrt{1-\frac{(\cot A+\cot B)^2}{\sin^2 A\sin^2 B}}$。