二次函数动点面积最值

当我们在平面直角坐标系内考虑二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像时，我们可以将其转化为标准形式 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $(h,k)$ 是顶点。显然，当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口向上，面积最小值为 $0$；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口向下，面积最小值同样为 $0$。因此，我们只需要考虑 $a>0$ 的情况。

对于给定的 $a,b,c$，我们可以用配方法或求导法求出顶点坐标 $(h,k)$，进而确定二次函数的图像和其下面的面积。为了方便计算，我们可以将二次函数关于 $y$ 轴对称，得到另一个二次函数 $y=a(-x-h)^2+k$，其顶点坐标为 $(-h,k)$，图像与原二次函数关于 $y$ 轴对称。因此，我们只需要考虑 $x\ge 0$ 的部分，将其下面的面积乘以 $2$ 即可得到整个图像下面的面积。

由于二次函数的图像在 $x=h$ 处取得最大值 $k$，因此我们可以得到以下不等式：

$$ S=2\int_0^h (ax^2+bx+c)dx = 2\left(\frac{ah^3}{3}+\frac{bh^2}{2}+ch\right) \le 2kh $$

即图像下面的面积不超过矩形的面积，其中矩形的宽为 $h$，高为 $k$。当且仅当 $h=\frac{-b}{2a}$ 时取到最大值 $k$，此时矩形的面积与图像下面的面积相等，即面积最大值为 $S_{\max}=2k\cdot \frac{-b}{2a}$，即 $S_{\max}=\frac{-b^2}{2a}$。

综上所述，对于给定的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口向上，其面积最大值为 $\frac{-b^2}{2a}$。