NOIP2001 提高组 - 一元三次方程求解：二分法解题

NOIP2001 提高组 - 一元三次方程求解：二分法解题/n/n### 题目描述/n/n有形如：$a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$ 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（$a,b,c,d$ 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 $-100$ 至 $100$ 之间），且根与根之差的绝对值 $/ge 1$。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 $2$ 位。/n/n提示：记方程 $f(x) = 0$，若存在 $2$ 个数 $x_1$ 和 $x_2$，且 $x_1 < x_2$，$f(x_1) /times f(x_2) < 0$，则在 $(x_1, x_2)$ 之间一定有一个根。/n/n### 输入格式/n/n一行，$4$ 个实数 $a, b, c, d$。/n/n### 输出格式/n/n一行，$3$ 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 $2$ 位。/n/n### 样例 #1/n/n#### 样例输入 #1/n/n/n1 -5 -4 20/n/n/n#### 样例输出 #1/n/n/n-2.00 2.00 5.00/n/n/n### 提示/n/n**【题目来源】**/n/nNOIP 2001 提高组第一题 /n/n## 解题思路/n/n根据题目的提示，我们可以使用二分法来逼近方程的根。具体步骤如下：/n/n1. 定义一个函数 f(x)，表示方程 $a x^3 + b x^2 + c x + d$。/n2. 定义两个变量 left 和 right，分别表示根的范围的左边界和右边界。初始时，left 的值为 -100，right 的值为 100。/n3. 使用二分法，在 left 和 right 之间找到一个值 mid，计算 f(mid) 的值。/n4. 如果 f(mid) 的值为 0，说明 mid 是方程的一个根，直接输出 mid。/n5. 如果 f(mid) 的值的绝对值小于一个给定的精度（例如 0.01），说明 mid 很接近方程的一个根，直接输出 mid。/n6. 如果 f(mid) 的值大于 0，说明根在 left 和 mid 之间，更新 right 的值为 mid。/n7. 如果 f(mid) 的值小于 0，说明根在 mid 和 right 之间，更新 left 的值为 mid。/n8. 重复步骤 3-7，直到找到三个根或者根的个数达到要求。/n/n需要注意的是，二分法只能找到一个根，因此需要多次使用二分法来找到三个根。在每次使用二分法之前，需要将根的范围缩小到前一个根和后一个根之间。/n/n## 代码实现/n/npython/ndef f(x, a, b, c, d):/n return a * x**3 + b * x**2 + c * x + d/n/ndef solve(a, b, c, d):/n # 根的个数/n count = 0/n # 根的范围的左边界和右边界/n left = -100/n right = 100/n # 精度/n precision = 0.01/n # 保存根的值/n roots = []/n /n while count < 3:/n # 二分法找根/n while right - left >= precision:/n mid = (left + right) / 2/n if f(mid, a, b, c, d) == 0:/n roots.append(mid)/n count += 1/n break/n elif f(mid, a, b, c, d) > 0:/n right = mid/n else:/n left = mid/n # 更新根的范围/n left = roots[-1]/n right = 100/n return roots/n/na, b, c, d = map(float, input().split())/nroots = solve(a, b, c, d)/nprint('{:.2f} {:.2f} {:.2f}'.format(roots[0], roots[1], roots[2]))/n/n/n## 复杂度分析/n/n二分法的时间复杂度为 O(logn)，其中 n 是根的范围的大小。在本题中，根的范围是固定的，因此时间复杂度为 O(1)。空间复杂度为 O(1)。