在四边形ABCD中∠A=∠ADC=90°AB=AD=10CD=15点EF分别为线段ABCD上的动点连接EF过点D作DG⊥直线EF垂足为G点E从点B向点A以每秒2个单位长度的速度运动同时点F从点D向点C以每秒3个单位长度的速度运动当点E运动到点A时EF同时停止运动设点E的运动时间为t秒求BC的长度

设BE=x，FC=y，则DE=10-x，DF=15-y。由相似三角形可得：

$\frac{DG}{DE}=\frac{DC}{DA}$ $\frac{DG}{10-x}=\frac{15}{10}$ $DG=\frac{3}{2}(10-x)$

又因为$\bigtriangleup DGF$为直角三角形，所以$DG^2+GF^2=DF^2$，代入上式化简可得：

$\frac{9}{4}(10-x)^2+(15-3t)^2=(15-y)^2$

又因为$\bigtriangleup EGF$为直角三角形，所以$EF^2=EG^2+GF^2$，代入上式化简可得：

$x^2+(15-y)^2=\frac{9}{4}(10-x)^2+(15-3t)^2$

联立以上两式可得：

$x^2+\frac{9}{4}(10-x)^2=15^2-\frac{9}{4}(15-3t)^2$

化简得：

$x^2-18x+45t^2-175=0$

由题意得$x=2t$，代入上式可得：

$4t^2-36t+45t^2-175=0$

$t=\frac{5}{3}$

所以，点E运动了$\frac{5}{3}$秒，此时$BE=2t=\frac{10}{3}$，$FC=15-BE=\frac{35}{3}$，根据勾股定理可得：

$BC=\sqrt{BE^2+FC^2}=\frac{5\sqrt{29}}{3}$

因此，$BC$的长度为$\frac{5\sqrt{29}}{3}$。