NOIP2012 提高组 借教室 题解 - 前缀和与差分优化

NOIP2012 提高组 借教室 题解 - 前缀和与差分优化

问题描述

在大学期间，经常需要租借教室。大到院系举办活动，小到学习小组自习讨论，都需要向学校申请借教室。教室的大小功能不同，借教室人的身份不同，借教室的手续也不一样。

面对海量租借教室的信息，我们自然希望编程解决这个问题。

我们需要处理接下来 n 天的借教室信息，其中第 i 天学校有 r_i 个教室可供租借。共有 m 份订单，每份订单用三个正整数描述，分别为 d_j,s_j,t_j，表示某租借者需要从第 s_j 天到第 t_j 天租借教室（包括第 s_j 天和第 t_j 天），每天需要租借 d_j 个教室。

我们假定，租借者对教室的大小、地点没有要求。即对于每份订单，我们只需要每天提供 d_j 个教室，而它们具体是哪些教室，每天是否是相同的教室则不用考虑。

借教室的原则是先到先得，也就是说我们要按照订单的先后顺序依次为每份订单分配教室。如果在分配的过程中遇到一份订单无法完全满足，则需要停止教室的分配，通知当前申请人修改订单。这里的无法满足指从第 s_j 天到第 t_j 天中有至少一天剩余的教室数量不足 d_j 个。

现在我们需要知道，是否会有订单无法完全满足。如果有，需要通知哪一个申请人修改订单。

输入格式

第一行包含两个正整数 n,m，表示天数和订单的数量。

第二行包含 n 个正整数，其中第 i 个数为 r_i，表示第 i 天可用于租借的教室数量。

接下来有 m 行，每行包含三个正整数 d_j,s_j,t_j，表示租借的数量，租借开始、结束分别在第几天。

每行相邻的两个数之间均用一个空格隔开。天数与订单均用从 1 开始的整数编号。

输出格式

如果所有订单均可满足，则输出只有一行，包含一个整数 0。否则（订单无法完全满足）

输出两行，第一行输出一个负整数 -1，第二行输出需要修改订单的申请人编号。

样例 #1

样例输入 #1

4 3 
2 5 4 3 
2 1 3 
3 2 4 
4 2 4

样例输出 #1

-1 
2

提示

【输入输出样例说明】

第 1 份订单满足后，4 天剩余的教室数分别为 0,3,2,3。第 2 份订单要求第 2 天到第 4 天每天提供 3 个教室，而第 3 天剩余的教室数为 2，因此无法满足。分配停止，通知第 2 个申请人修改订单。

【数据范围】

对于10%的数据，有 1≤ n,m≤ 10；

对于30%的数据，有 1≤ n,m≤1000；

对于 70%的数据，有 1 ≤ n,m ≤ 10^5；

对于 100%的数据，有 1 ≤ n,m ≤ 10^6,0 ≤ r_i,d_j≤ 10^9,1 ≤ s_j≤ t_j≤ n。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    vector<int> rooms(n+1, 0);
    vector<int> prefixSum(n+1, 0);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> rooms[i];
        prefixSum[i] = prefixSum[i-1] + rooms[i];
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int d, s, t;
        cin >> d >> s >> t;
        
        int available = prefixSum[t] - prefixSum[s-1];
        if (available < d) {
            cout << -1 << endl;
            cout << i+1 << endl;
            return 0;
        }
    }
    
    cout << 0 << endl;
    
    return 0;
}

代码解析

1. 前缀和数组: 使用 prefixSum 数组存储 rooms 数组的前缀和。prefixSum[i] 表示前 i 天可用的教室总数。
2. 计算可用教室数量: 对于每个订单，使用前缀和数组计算出从 s_j 天到 t_j 天可用的教室总数：prefixSum[t] - prefixSum[s-1]。
3. 判断是否满足: 如果可用的教室数量小于订单需要的教室数量 d_j，则该订单无法满足，输出 -1 和申请人编号。否则，继续处理下一个订单。

总结

使用前缀和与差分技术可以有效提高代码效率，避免了对每个订单重复计算可用教室数量。该算法的时间复杂度为 O(n+m)，其中 n 为天数，m 为订单数量。

补充说明

本题也可以使用差分数组来解决。差分数组存储的是每一天可用教室数量的增量。使用差分数组可以方便地计算一段时间的可用教室数量，与使用前缀和数组的效果相同。

代码实现 (使用差分数组)

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    vector<int> diff(n+1, 0);
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int r;
        cin >> r;
        diff[i] = r - diff[i-1]; // 计算差分数组
    }
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int d, s, t;
        cin >> d >> s >> t;
        
        int available = diff[t] - diff[s-1]; // 使用差分数组计算可用教室数量
        if (available < d) {
            cout << -1 << endl;
            cout << i+1 << endl;
            return 0;
        }
    }
    
    cout << 0 << endl;
    
    return 0;
}

代码解析

1. 差分数组: 使用 diff 数组存储 rooms 数组的差分。diff[i] 表示第 i 天可用的教室数量与第 i-1 天可用的教室数量的差值。
2. 计算可用教室数量: 对于每个订单，使用差分数组计算出从 s_j 天到 t_j 天可用的教室总数：diff[t] - diff[s-1]。
3. 判断是否满足: 如果可用的教室数量小于订单需要的教室数量 d_j，则该订单无法满足，输出 -1 和申请人编号。否则，继续处理下一个订单。

总结

使用差分数组与前缀和数组的效率基本相同，都是 O(n+m) 的时间复杂度。选择使用哪种方法主要取决于个人喜好和代码风格。

注意: 以上代码实现仅供参考，具体实现细节可能需要根据实际情况进行调整。