证明函数 |x|/x 在 x 趋近于 0 时极限不存在

要证明当 x 趋近于 0 时，|x|/x 的极限不存在，我们可以使用夹逼定理。

首先，|x|/x 可以分为两种情况讨论：

1. 当 x > 0 时，|x|/x = 1；
2. 当 x < 0 时，|x|/x = -1。

考虑两个序列：x_n = 1/n 和 y_n = -1/n，其中 n 是任意正整数。当 n 趋近于无穷大时，x_n 和 y_n 都趋近于 0。

对于 x_n，|x_n|/x_n = 1/(1/n) = n，而对于 y_n，|y_n|/y_n = 1/(-1/n) = -n。当 n 趋近于无穷大时，x_n 和 y_n 都趋近于 0，但是 |x_n|/x_n 的极限是正无穷大，而 |y_n|/y_n 的极限是负无穷大。

由于 x_n 和 y_n 的极限不同，所以 |x|/x 在这两个序列上的极限值不同，因此 |x|/x 的极限不存在。

综上所述，通过夹逼定理的分析，可以证明当 x 趋近于 0 时，|x|/x 的极限不存在。