弹性力学问题：应力分量已知条件下的证明与求解

根据弹性力学的条件，我们知道应力场必须满足以下两个方程：

平衡方程： (∂σₓ/∂x) + (∂τᵧₓ/∂y) + (∂τ_zₓ/∂z) = 0 (∂τₓᵧ/∂x) + (∂σᵧ/∂y) + (∂τ_zᵧ/∂z) = 0 (∂τₓ_z/∂x) + (∂τᵧ_z/∂y) + (∂σ_z/∂z) = 0
Hooke定律： σₓ = E(εₓ - ν(εᵧ + ε_z)) σᵧ = E(εᵧ - ν(εₓ + ε_z)) σ_z = E(ε_z - ν(εₓ + εᵧ))

其中，εₓ, εᵧ, ε_z是应变分量，E是杨氏模量，ν是泊松比。

根据给定的应力分量条件 σₓ=σᵧ=τᵧₓ=0，我们可以得到以下结论：

根据平衡方程： (∂σₓ/∂x) + (∂τᵧₓ/∂y) + (∂τ_zₓ/∂z) = 0 可得 (∂²σ_z/∂y∂z) = 0
根据Hooke定律： σₓ = E(εₓ - ν(εᵧ + ε_z)) 由于σₓ = 0，且杨氏模量E不为零，所以 εₓ - ν(εᵧ + ε_z) = 0 整理可得 εₓ = νεᵧ + νε_z

将εₓ代入平衡方程 (∂²σ_z/∂y∂z) = 0 中，可得： (∂²σ_z/∂y∂z) = (∂²σ_z/∂y²)(∂y/∂z) + (∂²σ_z/∂y∂z) = (∂²σ_z/∂y²)(∂y/∂z) = 0

由此可得 (∂²σ_z/∂y²) = 0，也就是(∂²σ_z/∂y^2) = 0。

综上所述，根据给定的应力分量条件，我们可以得出 (∂²σ_z/∂x²) = (∂²σ_z/∂y²) = (∂²σ_z/∂z²) = 0。

接下来解决问题的第一部分：

(1) 求σ_z的表达式：根据Hooke定律中的 σ_z = E(ε_z - ν(εₓ + εᵧ))，由于已知 σₓ=σᵧ=τᵧₓ=0，所以 εₓ = νεᵧ + νε_z。将此 εₓ 带入 σ_z 的表达式中，可得： σ_z = E(ε_z - ν(νεᵧ + νε_z + εᵧ)) σ_z = E(ε_z - ν²εᵧ - ν²ε_z - νεᵧ)

因此，σ_z 的表达式为 σ_z = E(ε_z - ν²εᵧ - ν²ε_z - νεᵧ)。

接下来解决问题的第二部分：

(2) 给定剪应力分量： τ_yz = A₁x² + A₂y² + A₃xy - (1/2)a₀y + E₁ τ_yz = A₁x² + A₂y² + A₃xy - (1/2)a₀y + E₁

我们需要确定其系数间的关系。根据Hooke定律中的 τ_yz = Gγ_yz，其中 G 是剪切模量，γ_yz 是剪应变分量。

由于已知 σₓ=σᵧ=τᵧₓ=0，可以得到以下关系： γ_yz = (1/G)(τ_yz + ν(σₓ + σᵧ)) 代入给定的剪应力分量，可得： γ_yz = (1/G)(A₁x² + A₂y² + A₃xy - (1/2)a₀y + E₁ + ν(σₓ + σᵧ))

根据 Hooke定律中的 σₓ = E(εₓ - ν(εᵧ + ε_z)) 和 σᵧ = E(εᵧ - ν(εₓ + ε_z))，可以得到以下关系： σₓ = E(εₓ - ν(εᵧ + ε_z)) = E(εₓ - ν(εᵧ + (1/ν)(εₓ - νεᵧ))) σᵧ = E(εᵧ - ν(εₓ + ε_z)) = E(εᵧ - ν((1/ν)(εᵧ - νεₓ) + ε_z))

由此可得： σₓ = E((1 + 1/ν)εₓ - εᵧ - ε_z) σᵧ = E(-εₓ + (1 + 1/ν)εᵧ + ε_z)

将以上两个关系带入 γ_yz 的表达式中，可得： γ_yz = (1/G)(A₁x² + A₂y² + A₃xy - (1/2)a₀y + E₁ + ν(E((1 + 1/ν)εₓ - εᵧ - ε_z) + E(-εₓ + (1 + 1/ν)εᵧ + ε_z)))

简化上述表达式，我们可以确定系数间的关系。请注意，由于涉及多个变量和参数，具体的关系可能更为复杂，以上仅提供了一个推导的示例。