高等数学 证明题举例

以下是一道高等数学证明题的举例：

证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

解法：

根据拉格朗日中值定理，对于任意 $x \in (a,b)$，存在 $\xi \in (a,b)$，使得：

$$f'(\xi)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

同时，又有：

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(x)}{b-x}$$

将两式相加，并整理得：

$$f'(\xi)=\frac{(x-a)(f(b)-f(a))+(b-x)(f(x)-f(a))}{(b-a)(x-a)}$$

$$f'(\xi)=\frac{xf(b)-xf(a)-af(b)+af(a)+xbf(x)-xf(a)-bxf(x)+xf(a)}{(b-a)(x-a)}$$

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}+\frac{x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a))}{(b-a)(x-a)}$$

由于 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，因此 $f(x)-f(a)$ 和 $f(x)-f(b)$ 也连续，且在 $x=a$ 和 $x=b$ 时分别等于 $0$。根据极限的定义，可以得到：

$$\lim_{x \to a} \frac{x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a))}{(b-a)(x-a)}=0$$

$$\lim_{x \to b} \frac{x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a))}{(b-a)(x-a)}=0$$

因此，当 $x \to a$ 或 $x \to b$ 时，$\frac{x(f(x)-f(a))-a(f(b)-f(a))-b(f(x)-f(a))}{(b-a)(x-a)}$ 的极限等于 $0$。因此，当 $x \to a$ 或 $x \to b$ 时，$f'(\xi)$ 的极限等于 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，因此 $f'(\xi)$ 在 $(a,b)$ 内连续。根据连续函数的介值定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi)$ 等于 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。因此，命题得证。