高等数学 例题

1. 求函数 $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$ 的定义域。

解：分母 $x-1$ 不能为零，即 $x\neq 1$，因此函数的定义域为 $\mathbb{R}-{1}$。

2. 求函数 $f(x)=\sin(2x+3)$ 的最大值和最小值。

解：由于 $\sin x$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-1$，因此 $\sin(2x+3)$ 的最大值为 $\sin 5$，最小值为 $\sin 1$。

3. 求函数 $f(x)=\ln(x^2+1)$ 的导数。

解：根据导数的定义，有 $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\ln((x+\Delta x)^2+1)-\ln(x^2+1)}{\Delta x}$。化简后得到 $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$。

4. 求函数 $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ 的不定积分。

解：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个不定积分，则 $F(x)=\int\frac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan x + C$，其中 $C$ 为常数。

5. 求曲线 $y=x^3-3x^2+3x$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程。

解：曲线在点 $(1,1)$ 处的斜率为 $f'(1)=3$，因此切线的斜率为 $3$。又因为切线过点 $(1,1)$，因此切线方程为 $y-1=3(x-1)$。