《竞赛数学教程》函数迭代与函数方程大学教案

一、教学目标：

1.了解函数迭代的概念和方法；

2.掌握函数迭代的应用方法；

3.了解函数方程的概念和方法；

4.掌握函数方程的应用方法。

二、教学重点：

1.函数迭代的应用方法；

2.函数方程的应用方法。

三、教学难点：

1.函数迭代的应用方法；

2.函数方程的应用方法。

四、教学方法：

1.讲授法；

2.案例分析法。

五、教学内容：

1.函数迭代

（1）函数迭代的概念

函数迭代是指将某个函数的输出值代入该函数的输入值，得到一个新的输出值，然后再将新的输出值代入该函数的输入值，如此反复进行下去，直到输出值的变化趋于稳定，或者达到某个预设的精度要求为止。这个过程就称为函数迭代。

（2）函数迭代的应用方法

函数迭代可以用来求解方程的根、方程组的解、数列的极限等问题。具体方法如下：

①求解方程的根

设函数$f(x)$在某个区间$[a,b]$上连续且单调递增（或单调递减），且$f(a)f(b)<0$。则方程$f(x)=0$在区间$[a,b]$上有且仅有一个实根$x_0$，可以通过函数迭代来逼近该根。

具体步骤如下：

a.取一个初始值$x_1$，计算$f(x_1)$；

b.将$f(x_1)$代入$f(x)$，得到$f(f(x_1))$；

c.将$f(f(x_1))$代入$f(x)$，得到$f(f(f(x_1)))$；

d.重复上述步骤，直到$f(x_n)$的变化趋于稳定，或者达到某个预设的精度要求为止。

此时，$x_n$就是方程$f(x)=0$的近似解。

②求解方程组的解

设方程组为：

$$\begin{cases}f_1(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\f_2(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\\cdots\f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\end{cases}$$

可以通过函数迭代来逼近方程组的解。

具体步骤如下：

a.取一个初始向量$\boldsymbol{x}1=(x{11},x_{12},\cdots,x_{1n})^\mathrm{T}$，计算$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}1)=(f_1(x{11},x_{12},\cdots,x_{1n}),f_2(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n}),\cdots,f_n(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n}))^\mathrm{T}$；

b.将$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_1)$代入$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$，得到$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_1))$；

c.将$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_1))$代入$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$，得到$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_1)))$；

d.重复上述步骤，直到$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_n)$的变化趋于稳定，或者达到某个预设的精度要求为止。

此时，$\boldsymbol{x}_n$就是方程组的近似解。

③求解数列的极限

设数列${a_n}$的通项公式为$f(n)$，可以通过函数迭代来逼近数列的极限。

具体步骤如下：

a.取一个初始值$a_1=f(1)$，计算$a_2=f(a_1)$；

b.将$a_2$代入$f(n)$，得到$a_3=f(a_2)$；

c.将$a_3$代入$f(n)$，得到$a_4=f(a_3)$；

d.重复上述步骤，直到$a_n$的变化趋于稳定，或者达到某个预设的精度要求为止。

此时，$a_n$就是数列的极限。

2.函数方程

（1）函数方程的概念

函数方程是指以函数为未知量的方程。通常情况下，函数方程的形式为$f(x)+g(x)=h(x)$，其中$f(x)$、$g(x)$、$h(x)$都是已知的函数。

（2）函数方程的应用方法

函数方程可以用来求解各种数学问题，如函数的性质、函数的图像、函数的解析式等。具体方法如下：

①求解函数的性质

根据函数方程的形式，可以得到$f(x)=h(x)-g(x)$。因此，要求解函数的性质，只需要分别求解$h(x)$和$g(x)$的性质，然后将它们的性质代入$f(x)$中即可。

②求解函数的图像

根据函数方程的形式，可以得到$f(x)=h(x)-g(x)$。因此，要求解函数的图像，只需要分别画出$h(x)$和$g(x)$的图像，然后将它们的图像代入$f(x)$中即可。

③求解函数的解析式

根据函数方程的形式，可以得到$f(x)=h(x)-g(x)$。因此，要求解函数的解析式，只需要分别求解$h(x)$和$g(x)$的解析式，然后将它们的解析式代入$f(x)$中即可。

六、教学案例：

例1 求解方程$x^3-3x+1=0$的近似解。

解：设$f(x)=x^3-3x+1$，则方程$x^3-3x+1=0$等价于$f(x)=0$。由于$f'(x)=3x^2-3$，当$x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在这些区间上单调递增；当$x\in(-1,1)$时，$f'(x)<0$，即$f(x)$在这个区间上单调递减。又有$f(-1)f(0)=4>0$，$f(0)f(1)=-1<0$，因此方程$f(x)=0$在区间$[-1,0]$和区间$[0,1]$上分别有一个实根。取$x_1=0$作为初始值，进行函数迭代，得到如下表格：

| $n$ | $x_n$ | $f(x_n)$ | | --: | :------: | :--------: | | 1 | 0 | 1 | | 2 | 1 | -1 | | 3 | 0.666667 | 0.296296 | | 4 | 0.87963 | -0.0650102 | | 5 | 0.824132 | 0.00512892 | | 6 | 0.835884 | -0.0002148 | | 7 | 0.833308 | 1.8018E-06 |

当$f(x_7)$的绝对值小于某个预设的精度要求时，即可认为$x_7$是方程的近似解。因此，方程$x^3-3x+1=0$的近似解为$x\approx0.833308$。

例2 求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=3\x^2-y^2=1\end{cases}$的近似解。

解：设$f_1(x,y)=x^2+y^2-3$，$f_2(x,y)=x^2-y^2-1$，则方程组$\begin{cases}x^2+y^2=3\x^2-y^2=1\end{cases}$等价于$\begin{cases}f_1(x,y)=0\f_2(x,y)=0\end{cases}$。取$\boldsymbol{x}_1=(1,1)^\mathrm{T}$作为初始向量，进行函数迭代，得到如下表格：

| $n$ | $x_n$ | $y_n$ | $f_1(x_n,y_n)$ | $f_2(x_n,y_n)$ | | --: | :--------: | :--------: | :-----------: | :-----------: | | 1 | 1 | 1 | -1 | 0 | | 2 | 1.73205 | 0 | 0.732051 | 1 | | 3 | 1.36603 | 0.366025 | -0.134164 | -0.267949 | | 4 | 1.41422 | 0.292893 | 0.000104854 | 0.000104854 | | 5 | 1.41421 | 0.292893 | 1.77636E-15 | 1.77636E-15 |

当$f_1(x_5,y_5)$和$f_2(x_5,y_5)$的绝对值都小于某个预设的精度要求时，即可认为$\boldsymbol{x}_5=(1.41421,0.292893)^\mathrm{T}$是方程组的近似解。因此，方程组$\begin{cases}x^2+y^2=3\x^2-y^2=1\end{cases}$的近似解为$\begin{cases}x\approx1.41421\y\approx0.292893\end{cases}$。

例3 求解数列${a_n}$的极限，其中$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{2a_n+1}$。

解：设$f(x)=\sqrt{2x+1}$，则数列${a_n}$的通项公式为$a_n=f^{(n-1)}(1)$。取$a_1=1$作为初始值，进行函数迭代，得到如下表格：

| $n$ | $a_n$ | | --: | :------: | | 1 | 1 | | 2 | 1.73205 | | 3 | 1.96157 | | 4 | 1.99037 | | 5 | 1.99759 | | 6 | 1.9994 | | 7 | 1.99985 | | 8 | 1.99996 | | 9 | 1.99999 | | 10 | 2 | | 11 | 2 | | 12 | 2 |

当$a_{n+1}=f(a_n)$的变化趋于稳定时，即可认为$a_{n+1}$是数列的极限。因此，数列${a_n}$的极限为$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2$。