《竞赛数学教程》大学复数教案

教学目标：

1. 理解复数的定义及其基本性质；
2. 掌握复数的四则运算；
3. 熟练运用复数解决代数方程和几何问题。

教学重点：

1. 复数的定义及其基本性质；
2. 复数的四则运算。

教学难点：

1. 复数的几何意义；
2. 复数的应用。

教学方法：

1. 讲授法；
2. 案例分析法；
3. 课堂练习法。

教学过程：

一、引入

教师介绍复数的概念，引导学生思考复数的几何意义和应用。

二、复数的定义及其基本性质

1. 复数的定义：设 $a$、$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，则形如 $a+bi$ 的数称为复数。

2. 复数的基本性质：

（1）复数加减法满足交换律、结合律和分配律；

（2）复数乘法满足交换律、结合律和分配律；

（3）复数乘法满足分配律的同时，满足乘法的结合律。

3. 复数的共轭：设 $z=a+bi$ 是一个复数，则 $z$ 的共轭为 $\bar{z}=a-bi$。

三、复数的四则运算

1. 复数的加减法：

（1）$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$；

（2）$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$。

2. 复数的乘法：

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$。

3. 复数的除法：

$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$。

4. 复数的平方根：

设 $z=a+bi$，则 $z$ 的平方根为 $\sqrt{z}=\pm\left(\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}+\text{i}\sqrt{\frac{|z|-a}{2}}\right)$。

四、复数的应用

1. 解一元二次方程：

（1）设 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a\neq0$，则方程的解为 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

（2）令 $x=z$，则原方程可以转化为 $az^2+bz+c=0$，其中 $a\neq0$，$z$ 是一个复数。

（3）解出 $z$，再将 $z$ 分解为实部和虚部，即可得到方程的解。

2. 解几何问题：

（1）复数的加减法可以表示向量的加减法；

（2）复数的乘法可以表示向量的旋转和缩放；

（3）复数的共轭可以表示向量的镜像。

五、课堂练习

1. 计算下列复数：

（1）$(2+3\text{i})+(4-2\text{i})$；

（2）$(5-2\text{i})-(3+4\text{i})$；

（3）$(1+2\text{i})\times(3-4\text{i})$；

（4）$\frac{1+2\text{i}}{3-4\text{i}}$。

2. 解下列方程：

（1）$x^2+2x+5=0$；

（2）$x^2+4x+5=0$。

3. 解下列几何问题：

（1）已知 $A(2,3)$，$B(4,-1)$，求 $\overrightarrow{AB}$ 的模长和方向角；

（2）将向量 $\overrightarrow{AB}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$，得到向量 $\overrightarrow{AC}$，求 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标。