基于伯德图法的超前校正装置设计与MATLAB实现

本文将探讨如何利用伯德图法设计超前校正装置，以改善一个单位负反馈控制系统的性能。

问题描述

考虑一个单位负反馈控制系统，其前向通道传递函数为 G(s)=(s^2 + 2as + a^2 + b^2 + 25)^-1，其中 a>0。设计一个超前校正装置 C(s) = (s + z)/(s + p) (0<z<p)，使得校正后系统的性能指标如下：

相角裕度 γ = 50°* 幅值裕度 K = 10 dB* 带宽 BW = 1-2 rad/s

试确定校正后的系统谐振峰值 M 和谐振角频率 ωr 的值，并使用 MATLAB 实现该系统校正。

设计步骤

计算校正后系统的解析频率和解析增益

首先，将相角裕度要求转换为弧度制：θ = 50° * π/180° = 0.8727 rad。

然后，计算解析频率 ωr 和解析增益 Kr： ωr = √(1/(tan(θ)*a)) Kr = 10^(K/20)
计算校正前系统的谐振峰值和谐振角频率

利用伯德图法，我们可以计算出校正前系统的谐振峰值 M 和谐振角频率 ωd： M = √(1 + (ωd/a)^2) tan(θ) = ωd/a
设计超前校正装置

根据伯德图法，选择超前校正装置的零点 z 和极点 p，使得： ωd = √(z*p) M = 1/(p/a)

根据已知的解析频率和解析增益，解出 z 和 p： z = ωr * √(1 - (1/M)^2) p = z/M
使用 MATLAB 实现校正系统


% 计算解析频率和解析增益 omega_r = sqrt(1/(tan(0.8727)*a)); K_r = 10^(10/20);

% 计算校正前系统的谐振峰值和谐振角频率 omega_d = sqrt(a^2 * tan(0.8727)^2); M = sqrt(1 + (omega_d/a)^2);

% 设计超前校正装置 z = omega_r * sqrt(1 - (1/M)^2); p = z/M; C = tf([1, z], [1, p]);

% 校正系统 sys = feedback(C*G, 1);

% 绘制伯德图 bode(sys) grid on

% 计算校正后系统的谐振峰值和谐振频率 [mag, phase, wout] = bode(sys); [~, idx] = max(mag); M_corrected = mag(idx); omega_r_corrected = wout(idx);

% 显示结果 fprintf('校正后的谐振峰值 M: %f
', M_corrected); fprintf('校正后的谐振角频率 ωr: %f rad/s
', omega_r_corrected); ```

通过以上步骤，我们完成了基于伯德图法的超前校正装置设计和 MATLAB 实现。校正后的系统可以通过变量 `sys` 访问和分析，并可根据需要调整参数以满足不同的性能指标。