用反证法证明y=sinx是超越函数

首先，我们需要了解什么是超越数和超越函数。超越数是指无法用有限个代数运算和整系数多项式的根表示的实数或复数，例如 π 和 e。而超越函数是指无法通过有限个代数运算和初等函数组合得到的函数，例如 y = ex 和 y = sinx。

现在，我们来证明 y = sinx 是超越函数。假设 y = sinx 可以由有限个代数运算和初等函数组合表示，即存在一个多项式 P(x, y) 和 Q(x, y) 使得 P(x, y) = Q(x, y) = 0 当且仅当 y = sinx。

考虑 y = sinx 的性质，它是周期为 2π 的函数，且在区间 [0, 2π] 上是单调递增的。因此，我们可以通过对 y = sinx 在 [0, 2π] 上的图像进行分段来构造一个分段多项式函数。具体地，我们可以将 [0, 2π] 分成若干个子区间，每个子区间内 y = sinx 的表达式都可以表示为一个多项式函数。

然而，这样的分段多项式函数并不能表示 y = sinx 在整个实数轴上的性质。因为 y = sinx 在整个实数轴上是周期为 2π 的函数，而分段多项式函数是不连续的，无法满足周期性。因此，我们得出矛盾，假设不成立。

综上所述，我们通过反证法证明了 y = sinx 是超越函数，无法用有限个代数运算和初等函数组合表示。