循环群生成元与元素周期分析

问题：设 G =< a >是以 a 为生成元的 n 阶循环群．若 r 与 n 的最大公约数是 d ，问 a'的周期是多少？由此看来， G 中哪些元素可以作为生成元？

解题思路：

1. 根据循环群的性质，a 的周期 r 应该是 n 的一个因子，即 n 可以被 r 整除。
2. 根据 r 和 n 的最大公约数是 d，可以得出结论：r 和 n 都可以被 d 整除。

解题步骤：

1. 根据 r 和 n 的最大公约数是 d，令 n = kd，其中 k 是一个整数。
2. 由于 r 和 n 都可以被 d 整除，令 r = md，其中 m 是一个整数。
3. a' 的周期也是 r，即 a' 的周期也是 n 的约数，并且由于 r 和 n 都可以被 d 整除，所以 a' 的周期也可以被 d 整除。
4. 因此，a' 的周期是 d。

结论： 根据以上分析，a' 的周期是 d。在循环群 G 中，可以作为生成元的元素是与 n 互素的元素，即与 n 的最大公约数是 1 的元素。因此，在循环群 G 中，与 n 互素的元素都可以作为生成元。