几何分布 P = 11+x 求最大拟然函数 并证明无偏性

假设进行了 n 次实验，其中成功的次数为 k，失败的次数为 n-k。则几何分布的概率质量函数为：

P(k) = (1-p)^(k-1) * p

其中，p = 1/(1+x)。

则进行 n 次实验，成功 k 次的概率为：

P(k;n,p) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中，C(n,k) 表示从 n 个实验中选择 k 个成功的组合数。因为 C(n,k) 只与 k 有关，所以最大化拟然函数可以简化为最大化：

L = p^k * (1-p)^(n-k)

对 L 取对数，并将 p 代入得到：

ln(L) = k * ln(p) + (n-k) * ln(1-p)

= k * ln(1/(1+x)) + (n-k) * ln(x/(1+x))

求导可得：

d(ln(L))/dx = k/(1+x) - (n-k)/x

令导数等于 0，解得：

x = k/(n-k)

所以当 x = k/(n-k) 时，拟然函数取得最大值。

证明无偏性：

设 X 为几何分布的随机变量，成功的概率为 p。则 X 的期望为：

E(X) = ∑k=1^∞ k * P(X=k)

= ∑k=1^∞ k * (1-p)^(k-1) * p

= p * ∑k=1^∞ k * (1-p)^(k-1)

= p * (1/(1-(1-p)))^2

= 1/p

因为 p = 1/(1+x)，所以：

E(X) = 1/(1/(1+x)) = x+1

因此，几何分布的期望是 x+1，即无偏的。