假设有一副分辨率只有8个像素的一维图像对应的像素值分别为：IX=21 19 13 15 16 14 12 16可以用生成矢量空间中的哈尔基函数的线性组合表示请写出矢量空间的哈尔基函数。计算图像IX的哈尔小波变换系数写出计算过程。写出矢量空间W^3的哈尔小波并画出它的波形。写出44哈尔小波变换矩阵写出计算过程。

矢量空间的哈尔基函数为： h1=[1 1 1 1 1 1 1 1] h2=[1 1 1 1 -1 -1 -1 -1] h3=[1 1 -1 -1 -1 -1 1 1] h4=[1 -1 -1 1 1 -1 -1 1] h5=[1 -1 1 -1 -1 1 -1 1] h6=[1 -1 1 -1 1 -1 1 -1] h7=[1 -1 -1 1 -1 1 1 -1] h8=[1 1 -1 -1 1 -1 -1 1]

计算图像I(X)的哈尔小波变换系数的步骤如下：

1. 对原始信号I(X)进行一次哈尔变换，得到长度为8的低频部分LL和高频部分LH。 LL=[18 14 11 13] LH=[2 2 1 -1 -2 -2 -4 0]
2. 对LL进行二次哈尔变换，得到长度为4的低频部分LLL和高频部分LLH。 LLL=[21 12] LLH=[2 -1 0 0]
3. 对LLL进行三次哈尔变换，得到长度为2的低频部分LLLL和高频部分LLLH。 LLLL=[17] LLLH=[-1 1]
4. 将上述结果按照从低到高的顺序组合起来，得到哈尔小波变换系数： [17 -1 1 2 -1 0 0 0]

矢量空间W^3的哈尔小波为： h1=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] h2=[1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1] h3=[1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1] h4=[1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1] h5=[1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1] h6=[1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1] h7=[1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1] h8=[1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1] h9=[1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1] h10=[1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1] h11=[1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1] h12=[1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1] h13=[1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1] h14=[1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1] h15=[1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1] h16=[1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1]

4*4哈尔小波变换矩阵为： H4=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 -1 1;1 -1 1 -1]

计算过程： 假设原始矩阵为A，则A经过一次44哈尔小波变换的结果为： HA=H4A*H4' 其中，H4'为H4的转置矩阵。