采样定理与周期延拓：傅里叶变换的视角

傅里叶变换是数字信号处理中的基石，它能够将时域信号转换到频域进行分析。在信号采样过程中，采样定理扮演着至关重要的角色，它揭示了采样频率与信号频率之间的关系，阐明了为了避免信息损失，采样频率必须满足的条件。

采样过程与周期延拓

当我们对一个连续信号进行采样时，实际上是将连续信号乘以一个周期为采样间隔 T_s 的采样函数。这个过程在频域中相当于将原始信号的频谱与采样函数的频谱进行卷积。

如果采样频率 f_s 不满足奈奎斯特采样定理，即 f_s ≤ 2f_0 （f_0 为信号最高频率），那么采样后的信号在频域中就会出现周期延拓的现象。简单来说，就是原始信号的高频部分会‘混叠’到低频部分，导致信息失真。

数学解释

假设原始信号为 f(t)，其傅里叶变换为 F(ω)。采样后的信号可以表示为 f_s(t) = f(t) * s(t)，其中 s(t) 为采样函数。根据卷积定理，时域的卷积对应于频域的乘积，因此采样后信号的频谱为：

F_s(ω) = F(ω) * S(ω)

其中 S(ω) 是采样函数的频谱。由于采样函数是周期性的，其频谱也是周期性的，表现为一系列间隔为 2π/T_s 的脉冲。

当采样频率不足时，这些脉冲会导致原始信号的频谱在频域上发生重叠，从而产生周期延拓。用数学公式可以表示为：

F_s(ω) = (1/T_s) * Σ[F(ω - 2πn/T_s)]，其中 n 是整数

结论

为了避免周期延拓，我们需要保证采样频率 f_s 大于信号最高频率的两倍，即满足奈奎斯特采样定理。换句话说，采样间隔 T_s 应该小于信号周期 1/f_0。

总结:

采样定理是数字信号处理的基础，它规定了采样频率与信号频率之间的关系。* 当采样频率不满足奈奎斯特采样定理时，就会出现周期延拓现象，导致信号失真。* 为了避免周期延拓，我们需要选择合适的采样频率，确保其大于信号最高频率的两倍。