用矩阵表示四维高斯分布的等值椭球表达式由四维高斯分布密度函数推导而得给出具体推导过程

四维高斯分布的密度函数为：

$$p(\boldsymbol{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^4|\boldsymbol{\Sigma}|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right)$$

其中，$\boldsymbol{x}$ 是一个四维向量，$\boldsymbol{\mu}$ 是均值向量，$\boldsymbol{\Sigma}$ 是协方差矩阵。

我们可以将协方差矩阵写成特征值和特征向量的形式：

$$\boldsymbol{\Sigma}=\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^T$$

其中，$\boldsymbol{Q}$ 是特征向量矩阵，$\boldsymbol{\Lambda}$ 是特征值矩阵，特征值按照从大到小的顺序排列。

我们对变量进行线性变换，令：

$$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Q}^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})$$

则有：

$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\mu}+\boldsymbol{Q}\boldsymbol{y}$$

将这个变换代入原式，有：

$$\begin{aligned}p(\boldsymbol{x})&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^4|\boldsymbol{\Sigma}|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})^T\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})\right)\&=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^4|\boldsymbol{\Sigma}|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(\boldsymbol{y})^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}(\boldsymbol{y})\right)\end{aligned}$$

其中，

$$|\boldsymbol{\Sigma}|=|\boldsymbol{Q}\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{Q}^T|=|\boldsymbol{Q}||\boldsymbol{\Lambda}||\boldsymbol{Q}^T|=|\boldsymbol{\Lambda}|$$

因为 $\boldsymbol{Q}$ 是正交矩阵，其行列式为 1。

现在我们来看等值椭球的表达式，假设等值椭球的半轴分别为 $a_1,a_2,a_3,a_4$，则有：

$$\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{\Lambda}^{-1}\boldsymbol{y}=\sum_{i=1}^4\frac{y_i^2}{\lambda_i}$$

等值椭球的表达式为：

$$\sum_{i=1}^4\frac{(x_i-\mu_i)^2}{a_i^2}=1$$

现在我们将 $x_i$ 表达成 $y_i$ 的形式：

$$\begin{aligned}(x_i-\mu_i)^2&=(\boldsymbol{Q}_i^T\boldsymbol{y})^2\&=y_i^2\cos^2\theta_i+y_j^2\sin^2\theta_i+2y_iy_j\cos\theta_i\sin\theta_i\end{aligned}$$

其中，$i,j$ 表示任意两个不同的下标，$\theta_i$ 是第 $i$ 个特征向量和 $x$ 轴正方向的夹角。

我们可以通过选择合适的 $\theta_i$，使得 $2y_iy_j\cos\theta_i\sin\theta_i=0$，即等值椭球的两个半轴不会同时出现在 $y_i,y_j$ 的方向上。这样，我们就可以将 $x_i$ 表达成 $y_i$ 的形式：

$$(x_i-\mu_i)^2=a_i^2y_i^2\cos^2\theta_i+a_j^2y_j^2\sin^2\theta_i$$

将其代入等值椭球的表达式，有：

$$\frac{y_i^2}{a_i^2}+\frac{y_j^2}{a_j^2(1-\cos^2\theta_i/\sin^2\theta_i)}=1$$

令 $b_j=a_j\sqrt{1-\cos^2\theta_i/\sin^2\theta_i}$，则等值椭球可以写成：

$$\frac{y_i^2}{a_i^2}+\frac{y_j^2}{b_j^2}=1$$

这就是等值椭球的表达式。