求下列数列的极限：1limn→∞n^3+3^n^1n；2limn→∞n^5e^n ；3limn→∞√n+2-2√n+1+√n

(1) 因为 $3^n$ 远大于 $n^3$，所以可以看作只有 $3^n$ 的项在起作用，即 $$ \lim_{n\to\infty}(n^3+3^n)^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}3\left(\frac{3^n}{n^3}\right)^{\frac{1}{n}}=3\lim_{n\to\infty}\frac{3}{\sqrt[n]{n^3}}=3. $$ (2) 因为 $e^n$ 远大于 $n^5$，所以可以看作只有 $e^n$ 的项在起作用，即 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n^5}{e^n}=0. $$ (3) 有 \begin{align*} &\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ =&\frac{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}-\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\ =&\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\ =&2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)\ =&2\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}. \end{align*} 因此， $$ \lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=\lim_{n\to\infty}2\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=0. $$