你能用算术基本定理证明如果c能整除ab并且ac互素证明c可以整除b

根据算术基本定理，任何一个正整数都可以唯一地分解为质数的乘积。因此，我们可以将a、b、c分解为质数的乘积：

a = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn b = q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm c = r1^m1 * r2^m2 * ... * rt^mt

其中，p1、p2、...、pn、q1、q2、...、qm、r1、r2、...、rt均为质数。

由于c能整除ab，因此有：

ab = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn * q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm

由于ac互素，即a和c没有任何公因数，因此c中不包含a中的任何质因数。因此，c的分解式中只包含b中的质因数，即：

c = q1^x1 * q2^x2 * ... * qm^xm

其中，x1、x2、...、xm均为非负整数。因为c能整除ab，所以对于任意的i∈[1,m]，都有xi≤li。

因此，我们可以将ab、a、b、c的分解式写成如下形式：

ab = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn * q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm a = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn b = q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm c = q1^x1 * q2^x2 * ... * qm^xm

由于c的分解式只包含b中的质因数，因此对于任意的i∈[1,m]，都有xi≤li。因此，我们可以将b的分解式写成如下形式：

b = q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm = q1^x1 * q2^x2 * ... * qm^xm * q1^(l1-x1) * q2^(l2-x2) * ... * qm^(lm-xm)

由于q1、q2、...、qm均为质数，因此q1^(l1-x1)、q2^(l2-x2)、...、qm^(lm-xm)也都是整数。因此，我们可以将b的分解式写成如下形式：

b = q1^x1 * q2^x2 * ... * qm^xm * t

其中，t = q1^(l1-x1) * q2^(l2-x2) * ... * qm^(lm-xm)。因为x1、x2、...、xm均为非负整数，所以t是b的一个因数。

因此，我们有：

ab = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn * q1^l1 * q2^l2 * ... * qm^lm = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn * q1^x1 * q2^x2 * ... * qm^xm * q1^(l1-x1) * q2^(l2-x2) * ... * qm^(lm-xm) = a * b * t

因为c能整除ab，即ab能被c整除，因此有：

ab = a * b * t ≡ 0 (mod c)

因为a和c互素，根据裴蜀定理，存在整数x和y，使得ax + cy = 1。因此，我们有：

b * t = (ax + cy) * b * t = ab * x + c * y * b * t ≡ ab * x (mod c)

因为ab ≡ 0 (mod c)，所以ab * x ≡ 0 (mod c)。因为c是一个正整数，所以有ab * x / c = b * t / c。因为c和b的分解式中只包含相同的质因数，所以b * t / c是一个整数。因此，我们有b * t ≡ 0 (mod c)，即c能整除b。证毕。