向量和矩阵的基本概念及其运算规则并举例

向量是一个有序的数列，通常用一个列向量表示，例如：

$$ \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix} $$

表示一个三维的向量。向量可以进行加法和数乘运算。向量加法是指对应位置的元素相加，例如：

$$ \begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\5\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\7\9\end{pmatrix} $$

向量数乘是指向量中的每个元素乘以一个实数，例如：

$$ 2\begin{pmatrix}1\2\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\4\6\end{pmatrix} $$

矩阵是一个由数值排列成的矩形，通常用一个矩阵表示，例如：

$$ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\4 & 5 & 6\end{pmatrix} $$

表示一个2行3列的矩阵。矩阵也可以进行加法和数乘运算。矩阵加法是指对应位置的元素相加，例如：

$$ \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\4 & 5 & 6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7 & 8 & 9\10 & 11 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 10 & 12\14 & 16 & 18\end{pmatrix} $$

矩阵数乘是指矩阵中的每个元素乘以一个实数，例如：

$$ 2\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\4 & 5 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4 & 6\8 & 10 & 12\end{pmatrix} $$

矩阵还可以进行矩阵乘法运算，矩阵乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，例如：

$$ \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\4 & 5 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 8\9 & 10\11 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58 & 64\139 & 154\end{pmatrix} $$

其中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。