行列式计算技巧：线性组合展开法则详解

假设方阵 A 的第 i 行的元素可以表示为两个数之和的形式，即 A 的第 i 行为 [a1, a2, ..., ai-1, (x + y), ai+1, ..., an]，其中 x 和 y 是两个实数。我们可以利用行列式的展开法则计算 det(A)。

根据行列式的展开法则，我们可以选择对第 i 行展开，展开后的表达式为： det(A) = a1 * C1 + a2 * C2 + ... + (x + y) * Ci + ... + an * Cn 其中 Cj 表示 A 的第 j 列的余子式。

现在我们构造一个新的方阵 A'，将 A 的第 i 行替换成 [a1, a2, ..., ai-1, x, ai+1, ..., an]，即将第 i 行的元素替换为 x。那么 A' 的行列式可以表示为： det(A') = a1 * C1 + a2 * C2 + ... + x * Ci + ... + an * Cn

由于 (x + y) 和 x 只相差一个常数 y，所以 x * Ci 和 (x + y) * Ci 的展开结果只会相差一个常数 y。因此，我们可以得出结论： det(A) = det(A')

换句话说，如果方阵 A 的某一行的元素是两个数之和（或差）的形式，我们可以通过将其中一个数替换为另一个数，来得到一个新的方阵 A'，使得 det(A) = det(A')。