计算分数布朗运动的自相关系数与n^2H-2的比的极限为

根据分数布朗运动的定义，其自相关函数为：

$\rho(t) = \frac{1}{2} \left[ |t|^{2H-2} - (t-1)^{2H-2} - (t+1)^{2H-2} \right]$

我们希望计算其在$t=n$处的值与$n^{2H-2}$的比的极限，即：

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\rho(n)}{n^{2H-2}}$

首先，我们可以将$\rho(n)$展开为：

$\rho(n) = \frac{1}{2} \left[ |n|^{2H-2} - (n-1)^{2H-2} - (n+1)^{2H-2} \right]$

$= \frac{1}{2} \left[ n^{2H-2} - (n-1)^{2H-2} - (n+1)^{2H-2} \right]$

$= n^{2H-2} - \frac{1}{2} \left[ (n-1)^{2H-2} + (n+1)^{2H-2} \right]$

接下来，我们利用斯特林公式近似展开：

$(n \pm 1)! \approx \sqrt{2\pi (n \pm 1)} \left( \frac{n \pm 1}{e} \right)^{n \pm 1}$

$(n-1)^{2H-2} = \left( \frac{n-1}{n} \right)^{2-2H} n^{2H} = n^{2H} \left( 1 - \frac{2H-2}{n} + O(n^{-2}) \right)$

$(n+1)^{2H-2} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2-2H} n^{2H} = n^{2H} \left( 1 + \frac{2H-2}{n} + O(n^{-2}) \right)$

将其代入上式，得到：

$\rho(n) \approx n^{2H-2} - \frac{1}{2} \left[ n^{2H} \left( 1 - \frac{2H-2}{n} \right) + n^{2H} \left( 1 + \frac{2H-2}{n} \right) \right]$

$= n^{2H-2} - n^{2H-1} (2H-2) + O(n^{2H-2})$

因此，我们有：

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\rho(n)}{n^{2H-2}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \left( 1 - \frac{2H-2}{n} \right) = 1$

因此，分数布朗运动的自相关系数与$n^{2H-2}$的比的极限为1。