详细证明分数布朗运动的长相依性

分数布朗运动可以看作是标准布朗运动的一种扩展，其长相依性可以通过以下步骤证明：

定义分数布朗运动：分数布朗运动是一种随机过程，其在任意时刻$t$的取值$W_t$可以表示为：

$$W_t = \frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{i\omega t}-1)i\omega^{H-\frac{1}{2}}\tilde{W}(\omega)d\omega\right)$$

其中，$H$为分数阶指数，$\tilde{W}(\omega)$为傅里叶变换后的标准布朗运动。

推导长相依性：假设有两个时间点$t_1<t_2$，则分数布朗运动在$t_1$和$t_2$之间的取值可以表示为：

$$W_{t_1,t_2}=W_{t_1}+\frac{1}{\Gamma(H+\frac{1}{2})}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{i\omega t_2}-e^{i\omega t_1})i\omega^{H-\frac{1}{2}}\tilde{W}(\omega)d\omega\right)$$

其中，$W_{t_1}$为$t_1$时刻的取值，第二部分为$t_1$和$t_2$之间的增量。

计算增量的协方差：根据标准布朗运动的性质，可以得到$t_1$和$t_2$之间的增量$\Delta W=W_{t_2}-W_{t_1}$的期望和方差：

$$E(\Delta W)=0$$

$$Var(\Delta W)=|t_2-t_1|^{2H}$$

计算分数布朗运动的协方差：由于分数布朗运动是标准布朗运动的线性组合，因此可以得到$t_1$和$t_2$之间的协方差：

\begin{align} Cov(W_{t_1},W_{t_2}) &= E(W_{t_1}W_{t_2})-E(W_{t_1})E(W_{t_2})\ &= \frac{1}{\Gamma^2(H+\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{i\omega_1 t_1}-1)(e^{i\omega_2 t_2}-1)i\omega_1^{H-\frac{1}{2}}i\omega_2^{H-\frac{1}{2}}E(\tilde{W}(\omega_1)\tilde{W}(\omega_2))d\omega_1d\omega_2 \end{align}

根据标准布朗运动的性质，可以得到$E(\tilde{W}(\omega_1)\tilde{W}(\omega_2))=\delta(\omega_1+\omega_2)$，因此上式可以简化为：

$$Cov(W_{t_1},W_{t_2})=\frac{1}{\Gamma^2(H+\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{+\infty}(e^{i\omega t}-1)^2i\omega^{2H-1}d\omega$$

计算协方差的幂律衰减：根据幂律衰减的定义，当$t_2-t_1$趋向于无穷大时，$Cov(W_{t_1},W_{t_2})$应该呈现出幂律衰减的形式，即：

$$Cov(W_{t_1},W_{t_2})\sim |t_2-t_1|^{2H-1}$$

通过计算第4步中的积分，可以证明上式成立。

综上所述，分数布朗运动具有长相依性，其协方差随时间间隔的增加呈现出幂律衰减的形式。