【补例】某市区某年 12个月 发生恶性交通事故的次数分别为： 546127810761135 假设每个月发生恶性交通事故的次数服从泊松分布试估计该市平均每个月发生恶性交通事故次数的 95置信区间。

解答：

由于每个月发生的恶性交通事故次数服从泊松分布，因此该样本的样本均值 $\bar{X}$ 也服从泊松分布，其参数为 $\lambda$。根据中心极限定理，当样本容量 $n$ 充分大时，$\bar{X}$ 的分布可近似看作正态分布 $N(\lambda,\frac{\lambda}{n})$。

首先，计算样本均值 $\bar{X}$：

$$ \bar{X}=\frac{5+4+6+12+7+8+10+7+6+11+3+5}{12}=7.0 $$

然后，根据样本均值的正态分布，计算样本均值的标准误：

$$ S.E.(\bar{X})=\sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}=\sqrt{\frac{7.0}{12}}=0.566 $$

由于要估计 $\lambda$ 的置信区间，因此需要先确定置信水平。题目中要求的是 95% 置信区间，因此 $\alpha=0.05$，置信水平为 $1-\alpha=0.95$。

根据正态分布的性质，$\bar{X}-\lambda$ 的分布为 $N(0,\frac{\lambda}{n})$，因此有：

$$ \frac{\bar{X}-\lambda}{S.E.(\bar{X})}\sim N(0,1) $$

根据标准正态分布的性质，可以得到：

$$ P(-z_{\frac{\alpha}{2}}\leq \frac{\bar{X}-\lambda}{S.E.(\bar{X})}\leq z_{\frac{\alpha}{2}})=1-\alpha $$

其中，$z_{\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的上 $\frac{\alpha}{2}$ 分位数，可以查表得到 $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$。

将 $\bar{X}$ 和 $S.E.(\bar{X})$ 带入上式，得到：

$$ P(-1.96\leq \frac{\bar{X}-\lambda}{0.566}\leq 1.96)=0.95 $$

移项，得到对 $\lambda$ 的置信区间为：

$$ \bar{X}-1.96S.E.(\bar{X})\leq \lambda \leq \bar{X}+1.96S.E.(\bar{X}) $$

将 $\bar{X}$ 和 $S.E.(\bar{X})$ 带入上式，可得到该市平均每个月发生恶性交通事故次数的 95% 置信区间为：

$$ 7.0-1.96\times 0.566\leq \lambda \leq 7.0+1.96\times 0.566 $$

即：

$$ 5.89\leq \lambda \leq 8.11 $$

因此，该市平均每个月发生恶性交通事故次数的 95% 置信区间为 $[5.89,8.11]$。