证明方阵最小多项式的存在性和唯一性

存在性证明：

设方阵 $A$ 的大小为 $n\times n$，则 $A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 是次数不超过 $n$ 的多项式。因此，我们可以考虑构造一个次数不超过 $n$ 的多项式 $p(x)$，来证明存在性。

令 $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+x^n$，其中 $a_i$ 是待定系数，使得 $p(A)=0$。由于 $p(A)=0$，根据矩阵乘法的定义，我们有：

$$ \begin{aligned} p(A)&=a_0I+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_{n-1}A^{n-1}+A^n\ &=\begin{bmatrix} a_0I_{n\times n}+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_{n-1}A^{n-1} & 0\ 0 & a_0I_{n\times n}+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_{n-1}A^{n-1} \end{bmatrix} \end{aligned} $$

其中 $I_{n\times n}$ 是 $n\times n$ 的单位矩阵。因此，$p(A)=0$ 等价于 $a_0I_{n\times n}+a_1A+a_2A^2+\cdots+a_{n-1}A^{n-1}=0$，即 $A$ 的一个 $n$ 次多项式的零化。

我们可以根据这个思路，构造出一个次数不超过 $n$ 的多项式 $p(x)$，使得 $p(A)=0$。因此，$A$ 的最小多项式 $m_A(x)$ 存在。

唯一性证明：

假设 $A$ 的最小多项式不唯一，即存在两个不同的次数不超过 $n$ 的多项式 $p(x)$ 和 $q(x)$，使得 $p(A)=0$ 和 $q(A)=0$，且 $p(x)$ 和 $q(x)$ 不是相似的多项式，即它们的系数不成比例。

设 $d(x)$ 是 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的最大公因式，即 $d(x)$ 是满足 $d(x)|p(x)$ 和 $d(x)|q(x)$ 的最高次数的多项式。由于 $p(A)=0$ 和 $q(A)=0$，我们有 $d(A)|p(A)$ 和 $d(A)|q(A)$，因此 $d(A)=0$。

根据 $d(x)$ 的定义，我们有 $d(x)|p(x)$ 和 $d(x)|q(x)$，即 $p(x)=k(x)\cdot d(x)$ 和 $q(x)=l(x)\cdot d(x)$，其中 $k(x)$ 和 $l(x)$ 是多项式，且它们不是相似的多项式。因此，$p(A)=k(A)\cdot d(A)=0$ 和 $q(A)=l(A)\cdot d(A)=0$，即 $d(A)$ 是 $A$ 的一个非零的多项式，且次数不超过 $n$。

由于 $d(A)$ 是 $A$ 的一个非零的多项式，且次数不超过 $n$，所以 $d(x)$ 的次数不超过 $n$。又因为 $d(x)$ 是 $p(x)$ 和 $q(x)$ 的最大公因式，所以 $d(x)$ 不是相似的多项式，即 $d(x)$ 的系数不成比例。这与假设不符，因此 $A$ 的最小多项式是唯一的。